2つの直線 $2x + 5y - 3 = 0$ と $5x + ky - 2 = 0$ が、平行になるときと垂直になるときの定数 $k$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $2x + 5y - 3 = 0$ と $5x + ky - 2 = 0$ が、平行になるときと垂直になるときの定数 $k$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線が平行になる条件と垂直になる条件をそれぞれ考えます。

直線 $ax + by + c = 0$ の傾きは $-\frac{a}{b}$ で表されます。

(1) 平行になる条件

2つの直線が平行になるのは、傾きが等しいときです。

直線①の傾きは $-\frac{2}{5}$ で、直線②の傾きは $-\frac{5}{k}$ です。

したがって、$-\frac{2}{5} = -\frac{5}{k}$ が成り立つ必要があります。

これを解くと、

$2k = 25$

$k = \frac{25}{2}$

(2) 垂直になる条件

2つの直線が垂直になるのは、傾きの積が $-1$ になるときです。

直線①の傾きは $-\frac{2}{5}$ で、直線②の傾きは $-\frac{5}{k}$ です。

したがって、$(-\frac{2}{5})(-\frac{5}{k}) = -1$ が成り立つ必要があります。

これを解くと、

$\frac{10}{5k} = -1$

$\frac{2}{k} = -1$

$k = -2$

3. 最終的な答え

平行になるとき: $k = \frac{25}{2}$

垂直になるとき: $k = -2$