座標平面上に2点A(-7, -9), B(1, -1)がある。点PはA, Bからの距離の比が3:1となる点であり、その軌跡をK1とする。K1が円であるとき、APとBPの間の関係式、K1の中心と半径、三角形ABPの面積が最大となる点Pの位置、および、三角形DEQの重心の軌跡に関する問題を解く。

1. 問題の内容

座標平面上に2点A(-7, -9), B(1, -1)がある。点PはA, Bからの距離の比が3:1となる点であり、その軌跡をK1とする。K1が円であるとき、APとBPの間の関係式、K1の中心と半径、三角形ABPの面積が最大となる点Pの位置、および、三角形DEQの重心の軌跡に関する問題を解く。

2. 解き方の手順

(1) AP:BP = 3:1 より、AP = 3BP。したがって、アの解答は②である。

(2) 点Pの座標を(x, y)とすると、AP = $\sqrt{(x+7)^2 + (y+9)^2}$、BP = $\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}$である。AP = 3BPより、$\sqrt{(x+7)^2 + (y+9)^2} = 3\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2}$。両辺を2乗すると、$(x+7)^2 + (y+9)^2 = 9((x-1)^2 + (y+1)^2)$。これを整理すると、$x^2 + 14x + 49 + y^2 + 18y + 81 = 9(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1)$。さらに整理すると、$x^2 + 14x + y^2 + 18y + 130 = 9x^2 - 18x + 9y^2 + 18y + 18$。移項して整理すると、$8x^2 - 32x + 8y^2 - 112 = 0$。8で割ると、$x^2 - 4x + y^2 - 14 = 0$。平方完成すると、$(x-2)^2 + y^2 = 18$。したがって、K1の中心は(2, 0)、半径は$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$である。よって、イ=2, ウ=0, エ=3, オ=2。

(3) 三角形ABPの面積が最大となるのは、ABを底辺と見たとき、点Pから直線ABまでの距離が最大となるときである。これは、点Pが直線ABに垂直な直線が円K1に接する点となるときである。また、点Pは円K1の中心C(2, 0)を通り直線ABに垂直な直線とK1の交点とみなせる。

直線ABの傾きは$\frac{-1 - (-9)}{1 - (-7)} = \frac{8}{8} = 1$である。直線ABに垂直な直線の傾きは-1である。点C(2, 0)を通り、傾き-1の直線の方程式は$y = -(x - 2)$、すなわち$y = -x + 2$。

円K1の方程式は$(x-2)^2 + y^2 = 18$。$y = -x + 2$を代入すると、$(x-2)^2 + (-x + 2)^2 = 18$。$(x-2)^2 + (x-2)^2 = 18$。$2(x-2)^2 = 18$。$(x-2)^2 = 9$。$x-2 = \pm 3$。$x = 5, -1$。

$x = 5$のとき、$y = -5 + 2 = -3$。$x = -1$のとき、$y = -(-1) + 2 = 3$。したがって、点D(5, -3), E(-1, 3)である。

(4) よって面積が最大となるのは、点Pが点D(5, -3)または点E(-1, 3)と一致するときである。したがって、カ=0(垂直), ク=0(垂直), キ=2(C), ケコ=5, サ=-3, シ=-1, スセ=3。

(5) 点D(5, -3), E(-1, 3)であるから、DEQの重心を(X, Y)とすると、$X = \frac{5 + (-1) + x}{3}$, $Y = \frac{-3 + 3 + y}{3}$。

$x = 3X - 4$, $y = 3Y$。これらを円K1の方程式$(x-2)^2 + y^2 = 18$に代入すると、$(3X - 4 - 2)^2 + (3Y)^2 = 18$。$(3X - 6)^2 + 9Y^2 = 18$。$9(X - 2)^2 + 9Y^2 = 18$。$(X - 2)^2 + Y^2 = 2$。

$X^2 - 4X + 4 + Y^2 = 2$。$X^2 + Y^2 - 4X + 2 = 0$。

したがって、円K2は$x^2 + y^2 - 4x + 2 = 0$。よって、ソ=4, タチツ=-2。

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: 2

ウ: 0

エ: 3

オ: 2

カ: 0

ク: 0

キ: 2

ケコ: 5

サ: -3

シ: -1

スセ: 3

ソ: 4

タチツ: -2