(1) 点A(4, 5)に関して、点P(10, 3)と対称な点Qの座標を求める。 (2) A(1, 4), B(-2, -1), C(4, 0)とする。A, B, Cの点P(a, b)に関する対称点をそれぞれA', B', C'とする。このとき、三角形A'B'C'の重心G'は三角形ABCの重心Gの点Pに関する対称点であることを示す。

1. 問題の内容

(1) 点A(4, 5)に関して、点P(10, 3)と対称な点Qの座標を求める。

(2) A(1, 4), B(-2, -1), C(4, 0)とする。A, B, Cの点P(a, b)に関する対称点をそれぞれA', B', C'とする。このとき、三角形A'B'C'の重心G'は三角形ABCの重心Gの点Pに関する対称点であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

点A(4, 5)に関して点P(10, 3)と対称な点Qの座標を(x, y)とする。

点Aは線分PQの中点であるから、

$4 = \frac{10 + x}{2}$

$5 = \frac{3 + y}{2}$

これを解くと、

$8 = 10 + x \Rightarrow x = -2$

$10 = 3 + y \Rightarrow y = 7$

したがって、点Qの座標は(-2, 7)である。

(2)

三角形ABCの重心Gの座標を(x, y)とする。

$x = \frac{1 + (-2) + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{4 + (-1) + 0}{3} = \frac{3}{3} = 1$

したがって、重心Gの座標は(1, 1)である。

点A'(x1, y1), B'(x2, y2), C'(x3, y3)はそれぞれ点A, B, Cの点P(a, b)に関する対称点なので、

$a = \frac{1 + x_1}{2}$, $b = \frac{4 + y_1}{2}$

$a = \frac{-2 + x_2}{2}$, $b = \frac{-1 + y_2}{2}$

$a = \frac{4 + x_3}{2}$, $b = \frac{0 + y_3}{2}$

したがって、

$x_1 = 2a - 1$, $y_1 = 2b - 4$

$x_2 = 2a + 2$, $y_2 = 2b + 1$

$x_3 = 2a - 4$, $y_3 = 2b$

三角形A'B'C'の重心G'の座標を(x', y')とすると、

$x' = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{(2a - 1) + (2a + 2) + (2a - 4)}{3} = \frac{6a - 3}{3} = 2a - 1$

$y' = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = \frac{(2b - 4) + (2b + 1) + (2b)}{3} = \frac{6b - 3}{3} = 2b - 1$

G'の座標は(2a - 1, 2b - 1)である。

線分GG'の中点の座標は、$(\frac{1 + (2a - 1)}{2}, \frac{1 + (2b - 1)}{2}) = (a, b)$

これは点Pの座標に一致するので、G'はGの点Pに関する対称点である。

3. 最終的な答え

(1) 点Qの座標：(-2, 7)

(2) 略（証明完了）