直線 $l: y = 2x + 12$ と直線 $m: y = -x + 6$ が与えられています。これらの交点をA、直線 $l$ とx軸との交点をB、直線 $m$ とx軸との交点をC、直線 $m$ とy軸との交点をDとします。以下の問いに答えます。 (1) 点Aの座標を求めよ。 (2) 点B, C, Dの座標をそれぞれ求めよ。 (3) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。 (4) 四角形ABODの面積を求めよ。 (5) 点Aを通り、$\triangle ABC$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。 (6) 点Bを通り、$\triangle ABC$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x + 12$ と直線 $m: y = -x + 6$ が与えられています。これらの交点をA、直線 $l$ とx軸との交点をB、直線 $m$ とx軸との交点をC、直線 $m$ とy軸との交点をDとします。以下の問いに答えます。

(1) 点Aの座標を求めよ。

(2) 点B, C, Dの座標をそれぞれ求めよ。

(3) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

(4) 四角形ABODの面積を求めよ。

(5) 点Aを通り、$\triangle ABC$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。

(6) 点Bを通り、$\triangle ABC$ の面積を二等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標は直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解きます。

$y = 2x + 12$

$y = -x + 6$

代入して $2x + 12 = -x + 6$

$3x = -6$

$x = -2$

$y = -(-2) + 6 = 8$

よって、点Aの座標は $(-2, 8)$

(2) 点Bの座標は直線 $l: y = 2x + 12$ とx軸 ($y = 0$) の交点なので、

$0 = 2x + 12$

$2x = -12$

$x = -6$

よって、点Bの座標は $(-6, 0)$

点Cの座標は直線 $m: y = -x + 6$ とx軸 ($y = 0$) の交点なので、

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、点Cの座標は $(6, 0)$

点Dの座標は直線 $m: y = -x + 6$ とy軸 ($x = 0$) の交点なので、

$y = -0 + 6 = 6$

よって、点Dの座標は $(0, 6)$

(3) $\triangle ABC$ の面積を求めます。底辺をBCと考えると、$BC = 6 - (-6) = 12$。高さは点Aのy座標の絶対値なので、8です。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times \text{高さ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$

(4) 四角形ABODの面積は、$\triangle AOD$ と $\triangle BOD$ の面積の和です。

$\triangle AOD = \frac{1}{2} \times OD \times |x_A| = \frac{1}{2} \times 6 \times |-2| = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$

$\triangle BOD = \frac{1}{2} \times OB \times OD = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$

四角形ABODの面積 $= \triangle AOD + \triangle BOD = 6 + 18 = 24$

(5) 点Aを通り、$\triangle ABC$ の面積を二等分する直線は、辺BCの中点を通ります。

BCの中点をMとすると、$M = (\frac{-6+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0)$。すなわち原点です。

点A $(-2, 8)$ と原点 $(0, 0)$ を通る直線の式は $y = ax$ で、$8 = a(-2)$ より $a = -4$。

よって、求める直線の式は $y = -4x$

(6) 点Bを通り、$\triangle ABC$ の面積を二等分する直線は、辺ACの中点を通ります。

ACの中点をNとすると、$N = (\frac{-2+6}{2}, \frac{8+0}{2}) = (2, 4)$

点B $(-6, 0)$ と点N $(2, 4)$ を通る直線の式を $y = ax + b$ とおくと、

$0 = -6a + b$

$4 = 2a + b$

引き算して $-4 = -8a$ より $a = \frac{1}{2}$

$b = 6a = 6 \times \frac{1}{2} = 3$

よって、求める直線の式は $y = \frac{1}{2}x + 3$

3. 最終的な答え

(1) A $(-2, 8)$

(2) B $(-6, 0)$, C $(6, 0)$, D $(0, 6)$

(3) 48

(4) 24

(5) $y = -4x$

(6) $y = \frac{1}{2}x + 3$