(1) 点$(-1, 3)$を通り、直線$5x - 2y - 1 = 0$に平行な直線の方程式を求めよ。 (2) 点$(-7, 1)$を通り、直線$4x + 6y - 5 = 0$に垂直な直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点$(-1, 3)$を通り、直線$5x - 2y - 1 = 0$に平行な直線の方程式を求めよ。

(2) 点$(-7, 1)$を通り、直線$4x + 6y - 5 = 0$に垂直な直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた直線$5x - 2y - 1 = 0$を変形して傾きを求める。

$2y = 5x - 1$

$y = \frac{5}{2}x - \frac{1}{2}$

よって、与えられた直線の傾きは$\frac{5}{2}$である。

求める直線は与えられた直線に平行なので、傾きも$\frac{5}{2}$となる。

点$(-1, 3)$を通り、傾きが$\frac{5}{2}$の直線の方程式は、

$y - 3 = \frac{5}{2}(x - (-1))$

$y - 3 = \frac{5}{2}(x + 1)$

$2(y - 3) = 5(x + 1)$

$2y - 6 = 5x + 5$

$5x - 2y + 11 = 0$

(2)

まず、与えられた直線$4x + 6y - 5 = 0$を変形して傾きを求める。

$6y = -4x + 5$

$y = -\frac{4}{6}x + \frac{5}{6}$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{6}$

よって、与えられた直線の傾きは$-\frac{2}{3}$である。

求める直線は与えられた直線に垂直なので、傾きは与えられた直線の傾きの逆数の符号を反転したものになる。

つまり、求める直線の傾きは$\frac{3}{2}$となる。

点$(-7, 1)$を通り、傾きが$\frac{3}{2}$の直線の方程式は、

$y - 1 = \frac{3}{2}(x - (-7))$

$y - 1 = \frac{3}{2}(x + 7)$

$2(y - 1) = 3(x + 7)$

$2y - 2 = 3x + 21$

$3x - 2y + 23 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $5x - 2y + 11 = 0$

(2) $3x - 2y + 23 = 0$