点A(0, 6)と点B(9, 0)を通る直線$m$があり、点Dの座標は(-1, 2)である。以下の問いに答える。 (1) 直線$m$の式が$y=ax+6$で表されるとき、$a$の値を求めよ。 (2) 直線$m$の式を求めよ。 (3) $\triangle AOC$を$x$軸を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。ただし、点$C$は直線$m$と$x$軸との交点である。 $\triangle AOD = \triangle AOP$となるときの点$P$の座標をすべて求めよ。

1. 問題の内容

点A(0, 6)と点B(9, 0)を通る直線$m$があり、点Dの座標は(-1, 2)である。以下の問いに答える。

(1) 直線$m$の式が$y=ax+6$で表されるとき、$a$の値を求めよ。

(2) 直線$m$の式を求めよ。

(3) $\triangle AOC$を$x$軸を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。ただし、点$C$は直線$m$と$x$軸との交点である。

$\triangle AOD = \triangle AOP$となるときの点$P$の座標をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点B(9, 0)は直線$y = ax + 6$上にあるので、

$0 = 9a + 6$

$9a = -6$

$a = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$

(2) 直線$m$は点A(0, 6)と点B(9, 0)を通るので、傾きは

$\frac{0-6}{9-0} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}$

切片は6であるから、$y = -\frac{2}{3}x + 6$

(3) 点$C$は直線$m$と$x$軸との交点なので、$y=0$を代入して、

$0 = -\frac{2}{3}x + 6$

$\frac{2}{3}x = 6$

$x = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

したがって、点$C$の座標は(9, 0)である。

$\triangle AOC$を$x$軸を軸として回転させると、底面の半径が6、高さが9の円錐ができる。したがって、体積は

$\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot 9 = \pi \cdot 12 \cdot 9 = 108\pi$

$\triangle AOD = \triangle AOP$となるとき、

点$P$は直線$m$上にある。

$AOD$の面積は、$OD$を底辺とすると、高さはAの$x$座標の絶対値である1となる。

$OD = \sqrt{(-1-0)^2+(2-0)^2} = \sqrt{5}$

$AOD = \frac{1}{2}\sqrt{5}h$で、

直線AOの方程式は$y = \frac{6-0}{0-0}x + 6 = nx + 6$傾きは$\frac{6-0}{0-0} = -6$

$y = \frac{2-6}{-1-0} = 4$となり、$y=6$

底辺をAOとすると、高さは点Dから直線AOまでの距離。

点D(-1, 2)、直線$y=6$ より高さは|2-6| = 4

よって、$\triangle AOD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3$

$\triangle AOD = \triangle AOP$となるとき、点$P$は直線$m$上にある。$\triangle AOP$の面積を3とすると、$OP$を底辺とすると、高さは6になる。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{2}{3}$

(2) $y = -\frac{2}{3}x + 6$

(3) $108\pi cm^3$

点$P$の座標は不明