問題は以下の通りです。 (1) 直線 $l$ は関数 $y = ax$ のグラフで、点 $A(3, 6)$ を通る。このとき、$a$ の値を求めよ。 (2) 直線 $m$ は点 $A(3, 6)$ と点 $B(0, 9)$ を通る。このとき、直線 $m$ の式を求めよ。 (3) $\triangle AOC$ を $x$ 軸を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。ここで、$C$ は直線 $m$ と $x$ 軸の交点である。 (4) $\triangle AOD = \triangle AOP$ となるときの点 $P$ の座標をすべて求めよ。ここで、$D$ は座標 $(-1, 2)$ の点であり、$P$ は直線 $m$ 上の点である。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 直線 $l$ は関数 $y = ax$ のグラフで、点 $A(3, 6)$ を通る。このとき、$a$ の値を求めよ。

(2) 直線 $m$ は点 $A(3, 6)$ と点 $B(0, 9)$ を通る。このとき、直線 $m$ の式を求めよ。

(3) $\triangle AOC$ を $x$ 軸を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めよ。ここで、$C$ は直線 $m$ と $x$ 軸の交点である。

(4) $\triangle AOD = \triangle AOP$ となるときの点 $P$ の座標をすべて求めよ。ここで、$D$ は座標 $(-1, 2)$ の点であり、$P$ は直線 $m$ 上の点である。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(3, 6)$ が $y = ax$ 上にあるので、$6 = a \times 3$ より、$a = 2$。

(2) 直線 $m$ は2点 $A(3, 6)$ と $B(0, 9)$ を通るので、直線の式を $y = bx + c$ とおくと、$c = 9$。

また、$6 = 3b + 9$ より、$3b = -3$ なので、$b = -1$。

したがって、直線 $m$ の式は $y = -x + 9$。

(3) 点 $C$ は直線 $m$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を $y = -x + 9$ に代入すると、$0 = -x + 9$ より、$x = 9$。したがって、$C(9, 0)$。

$\triangle AOC$ を $x$ 軸を軸として1回転させると、底面の半径が $A$ の $y$ 座標である $6$、高さが $OC$ の長さである $9$ の円錐ができる。

その体積は、$\frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 9 = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 9 = \pi \times 36 \times 3 = 108\pi$。

(4) 点 $D(-1, 2)$。直線 $m$ の式は $y = -x + 9$。点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおくと、$P$ は直線 $m$ 上にあるので、$y = -x + 9$。したがって、$P(x, -x + 9)$。

$\triangle AOD$ の面積は、底辺を $OD$ と考えると、高さは $A$ から直線 $OD$ までの距離となる。しかし、ここでは座標を使って面積を求める。

$O(0, 0)$, $A(3, 6)$, $D(-1, 2)$ なので、$\triangle AOD$ の面積は $\frac{1}{2} |(3 \times 2) - (6 \times (-1))| = \frac{1}{2} |6 + 6| = \frac{1}{2} \times 12 = 6$。

$\triangle AOP$ の面積は、$\frac{1}{2} |(3 \times (-x + 9)) - (6 \times x)| = \frac{1}{2} |-3x + 27 - 6x| = \frac{1}{2} |-9x + 27|$。

$\triangle AOD = \triangle AOP$ より、$\frac{1}{2} |-9x + 27| = 6$ なので、$|-9x + 27| = 12$。

$-9x + 27 = 12$ または $-9x + 27 = -12$。

$-9x = -15$ より $x = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$。このとき、$y = -\frac{5}{3} + 9 = \frac{-5 + 27}{3} = \frac{22}{3}$。

$-9x = -39$ より $x = \frac{39}{9} = \frac{13}{3}$。このとき、$y = -\frac{13}{3} + 9 = \frac{-13 + 27}{3} = \frac{14}{3}$。

したがって、$P(\frac{5}{3}, \frac{22}{3})$ または $P(\frac{13}{3}, \frac{14}{3})$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $y = -x + 9$

(3) $108\pi \text{ cm}^3$

(4) $P(\frac{5}{3}, \frac{22}{3})$, $P(\frac{13}{3}, \frac{14}{3})$