問題は2つあります。 【問4】 (1) 2点A(-2, -1), B(2, 7)を結ぶ線分ABを3:1に内分する点Pの座標を求めよ。 (2) 2点A(-2, -1), B(2, 7)を結ぶ線分ABの中点の座標を求めよ。 【問5】 (1) 3点A(2, 7), B(-4, -2), C(5, 4)を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求めよ。 (2) 3点A(2, 7), B(-4, -2), C(5, 4)を頂点とする三角形ABCにおいて、AB, BC, CAの中点をそれぞれP, Q, Rとするとき、三角形PQRの重心を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

【問4】

(1) 2点A(-2, -1), B(2, 7)を結ぶ線分ABを3:1に内分する点Pの座標を求めよ。

(2) 2点A(-2, -1), B(2, 7)を結ぶ線分ABの中点の座標を求めよ。

【問5】

(1) 3点A(2, 7), B(-4, -2), C(5, 4)を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求めよ。

(2) 3点A(2, 7), B(-4, -2), C(5, 4)を頂点とする三角形ABCにおいて、AB, BC, CAの中点をそれぞれP, Q, Rとするとき、三角形PQRの重心を求めよ。

2. 解き方の手順

【問4】

(1) 線分ABをm:nに内分する点Pの座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)とすると、

$P(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

である。

今回の問題では、A(-2, -1), B(2, 7), m=3, n=1であるから、

$P(\frac{1*(-2) + 3*2}{3+1}, \frac{1*(-1) + 3*7}{3+1}) = P(\frac{-2+6}{4}, \frac{-1+21}{4}) = P(\frac{4}{4}, \frac{20}{4}) = P(1, 5)$

(2) 線分ABの中点の座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$)とすると、

$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$

である。

今回の問題では、A(-2, -1), B(2, 7)であるから、

$(\frac{-2+2}{2}, \frac{-1+7}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{6}{2}) = (0, 3)$

【問5】

(1) 三角形ABCの重心Gの座標は、A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$), C($x_3$, $y_3$)とすると、

$G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

である。

今回の問題では、A(2, 7), B(-4, -2), C(5, 4)であるから、

$G(\frac{2+(-4)+5}{3}, \frac{7+(-2)+4}{3}) = G(\frac{3}{3}, \frac{9}{3}) = G(1, 3)$

(2) ABの中点Pの座標は、

$P(\frac{2+(-4)}{2}, \frac{7+(-2)}{2}) = P(\frac{-2}{2}, \frac{5}{2}) = P(-1, \frac{5}{2})$

BCの中点Qの座標は、

$Q(\frac{-4+5}{2}, \frac{-2+4}{2}) = Q(\frac{1}{2}, \frac{2}{2}) = Q(\frac{1}{2}, 1)$

CAの中点Rの座標は、

$R(\frac{5+2}{2}, \frac{4+7}{2}) = R(\frac{7}{2}, \frac{11}{2})$

三角形PQRの重心の座標は、

$(\frac{-1+\frac{1}{2}+\frac{7}{2}}{3}, \frac{\frac{5}{2}+1+\frac{11}{2}}{3}) = (\frac{\frac{-2+1+7}{2}}{3}, \frac{\frac{5+2+11}{2}}{3}) = (\frac{\frac{6}{2}}{3}, \frac{\frac{18}{2}}{3}) = (\frac{3}{3}, \frac{9}{3}) = (1, 3)$

三角形PQRの重心は、三角形ABCの重心と一致する。

3. 最終的な答え

【問4】

(1) (1, 5)

(2) (0, 3)

【問5】

(1) (1, 3)

(2) (1, 3)