関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-2と4である。 (1) xの値が0から4まで増加するときの変化の割合を求める。 (2) 3点O, A, Bとは異なる点Pをグラフ上にとるとき、三角形OABと三角形PABの面積が等しくなるような点Pの個数を求める。 (3) x軸上に点Qを、AQ+BQの長さが最も短くなるようにとるとき、点Qのx座標を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-2と4である。

(1) xの値が0から4まで増加するときの変化の割合を求める。

(2) 3点O, A, Bとは異なる点Pをグラフ上にとるとき、三角形OABと三角形PABの面積が等しくなるような点Pの個数を求める。

(3) x軸上に点Qを、AQ+BQの長さが最も短くなるようにとるとき、点Qのx座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 変化の割合は $\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められる。xが0から4まで増加するとき、

$x=0$ のとき $y = \frac{1}{2}(0)^2 = 0$

$x=4$ のとき $y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2} \times 16 = 8$

よって、変化の割合は $\frac{8-0}{4-0} = \frac{8}{4} = 2$

(2) 三角形OABと三角形PABの面積が等しいとき、底辺をABと考えると、高さが等しい必要がある。つまり、直線ABと直線ABに平行な直線との距離が等しい点Pを求めることになる。

直線ABと平行で、点Oを通る直線は直線ABと異なる。よって、三角形OABと三角形PABの面積が等しいということはあり得ない。

平行な直線は、もとの直線AB以外に1本だけ存在する。関数 $y=\frac{1}{2}x^2$のグラフと、その平行な直線との交点をPとすると、点Pはグラフ上に1点だけ存在する。

また、$y=\frac{1}{2}x^2$のグラフにおいて、点Aと点Bの間には、x軸と平行な直線との交点は存在しない。よって、点Pは点Aと点B以外の場所にも存在する。点A,B,Oとは異なる点Pが2個存在する。

(3) Aの座標は (-2, 2), Bの座標は (4, 8)。

点Bをx軸に関して対称な点B'とすると、B'の座標は (4, -8)。

AQ+BQが最小になるのは、AQ+B'Qが最小になる時であり、それはA, Q, B'が一直線上にあるときである。

直線AB'の方程式を求める。

傾きは $\frac{-8 - 2}{4 - (-2)} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

直線AB'の方程式は、$y - 2 = -\frac{5}{3}(x + 2)$ と表せる。

$y = -\frac{5}{3}x - \frac{10}{3} + 2 = -\frac{5}{3}x - \frac{4}{3}$

Qはx軸上の点なので、$y=0$ を代入すると、

$0 = -\frac{5}{3}x - \frac{4}{3}$

$\frac{5}{3}x = -\frac{4}{3}$

$x = -\frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2個

(3) $-\frac{4}{5}$