円と線分の図が与えられています。円の中心をO、円周上の点をA, B, Cとします。点Dは円の外にあり、線分ADと線分BDは円に接しています。線分OAの長さは5、線分BCの長さは2、線分BDの長さは4です。線分ADの長さを$x$とします。$x$の値を求めます。

1. 問題の内容

円と線分の図が与えられています。円の中心をO、円周上の点をA, B, Cとします。点Dは円の外にあり、線分ADと線分BDは円に接しています。線分OAの長さは5、線分BCの長さは2、線分BDの長さは4です。線分ADの長さを$x$とします。$x$の値を求めます。

2. 解き方の手順

円の外部の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいので、$AD = BD$が成り立ちます。

したがって、$x=4$ です。

ただし、この問題では点Aが線分OD上にあると仮定されているため、方べきの定理を利用します。

点Dから円への接線BDの長さを考えると、方べきの定理より、

$BD^2 = DA \cdot DO$

が成り立ちます。

$BD = 4$, $DA = x$, $DO = OA + AD = 5 + x$なので、

$4^2 = x(5+x)$

$16 = 5x + x^2$

$x^2 + 5x - 16 = 0$

これを解くと、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(-16)}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 64}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{89}}{2}$

$x$は長さなので正の値をとるため、

$x = \frac{-5 + \sqrt{89}}{2} \approx \frac{-5 + 9.43}{2} \approx \frac{4.43}{2} \approx 2.215$

しかし、答えが整数で与えられていることから、図に誤りがあると考えられます。

仮に、方べきの定理を点Bにおいて適用すると、

$BC \cdot BA = BD^2$ という関係は成り立ちません。

問題文に誤りがある可能性があります。

しかし、もし$OA$が円の半径で、$A$が線分$OD$上にあるとすると、$AD = x$ となり、$OD = OA + AD = 5+x$ となります。方べきの定理より、$BD^2 = AD * OD$ なので、$4^2 = x(5+x)$ となります。$16 = 5x+x^2$ より、$x^2+5x-16 = 0$ となり、$x = \frac{-5 + \sqrt{89}}{2}$ となります。これは整数ではありません。

$x=6$という答えが与えられているため、これを仮定して逆算してみましょう。

$x=6$ならば、$AD = 6$, $DO = 5+6 = 11$となります。

このとき、$BD^2 = AD \cdot DO = 6 \cdot 11 = 66$となるはずですが、$BD=4$なので$BD^2 = 16$となり矛盾します。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、解なし。もし方べきの定理が適用できるならば、$x = \frac{-5 + \sqrt{89}}{2}$ です。与えられた解答から推測するに、$x=6$が意図された答えのようですが、図と矛盾します。