三角形ABCがあり、辺ABの長さは9cm、辺ACの長さはx cmです。点Dは辺AC上にある点で、辺DCの長さは12cmです。 角ABDと角ACBが等しいとき、xの値を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺ABの長さは9cm、辺ACの長さはx cmです。点Dは辺AC上にある点で、辺DCの長さは12cmです。

角ABDと角ACBが等しいとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

三角形ABDと三角形ACBにおいて、

* ∠ABD = ∠ACB (仮定)

* ∠A は共通

2つの角が等しいので、三角形ABDと三角形ACBは相似です。

したがって、対応する辺の比も等しくなります。

$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{BD}{BC}$

$AC = x$ と $AD = x - 12$ より、

$\frac{9}{x} = \frac{x-12}{9}$

$9 \times 9 = x(x-12)$

$81 = x^2 - 12x$

$x^2 - 12x - 81 = 0$

この二次方程式を解きます。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(-81)}}{2(1)}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 324}}{2}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{468}}{2}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{36 \times 13}}{2}$

$x = \frac{12 \pm 6\sqrt{13}}{2}$

$x = 6 \pm 3\sqrt{13}$

長さは正であるため、$x > 0$。

$x = 6 - 3\sqrt{13}$ は負の値になるので、$x = 6 + 3\sqrt{13}$ が解となります。

ただし、相似比から計算すると、

$\frac{9}{x} = \frac{x-12}{9}$

$x^2-12x = 81$

$x^2-12x-81 = 0$

$(x-6)^2 - 36 = 81$

$(x-6)^2 = 117$

$x-6 = \pm\sqrt{117}$

$x = 6 \pm \sqrt{117} = 6 \pm 3\sqrt{13}$

長さは正なので、

$x = 6 + 3\sqrt{13} \approx 6 + 3(3.6) = 6 + 10.8 = 16.8$

3. 最終的な答え

$6 + 3\sqrt{13}$