点Cを中心とする半径rの円上の点P₀における接線のベクトル方程式が $(p_0 - c) \cdot (p - c) = r^2$ で表されることを証明する。ただし、各点の位置ベクトルは $\overrightarrow{OC} = c$, $\overrightarrow{OP_0} = p_0$, $\overrightarrow{OP} = p$ とする。ここで、点Pは接線上にある。

1. 問題の内容

点Cを中心とする半径rの円上の点P₀における接線のベクトル方程式が $(p_0 - c) \cdot (p - c) = r^2$ で表されることを証明する。ただし、各点の位置ベクトルは $\overrightarrow{OC} = c$, $\overrightarrow{OP_0} = p_0$, $\overrightarrow{OP} = p$ とする。ここで、点Pは接線上にある。

2. 解き方の手順

(1) $p_0 - c$ は円の中心Cから接点P₀へのベクトルを表し、$p - p_0$ は接線上の点Pから接点P₀へのベクトルを表す。接線は半径に垂直であるため、$p_0 - c$ と $p - p_0$ は直交する。したがって、

$$(p_0 - c) \cdot (p - p_0) = 0$$

(2) 上の式を変形する。

$$(p_0 - c) \cdot (p - c + c - p_0) = 0$$

$$(p_0 - c) \cdot (p - c) + (p_0 - c) \cdot (c - p_0) = 0$$

$$(p_0 - c) \cdot (p - c) - (p_0 - c) \cdot (p_0 - c) = 0$$

$$(p_0 - c) \cdot (p - c) = (p_0 - c) \cdot (p_0 - c)$$

(3) $(p_0 - c) \cdot (p_0 - c) = |p_0 - c|^2$ であり、$|p_0 - c|$ は円の半径rに等しい。したがって、

$$(p_0 - c) \cdot (p_0 - c) = r^2$$

(4) (2)と(3)の結果より、

$$(p_0 - c) \cdot (p - c) = r^2$$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

$(p_0 - c) \cdot (p - c) = r^2$