$\alpha$ は第2象限の角、$\beta$ は第4象限の角であり、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$、$\cos \beta = \frac{1}{3}$ であるとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\alpha$ は第2象限の角、$\beta$ は第4象限の角であり、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$、$\cos \beta = \frac{1}{3}$ であるとき、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求めます。

$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$ です。$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

よって、$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$\beta$ は第4象限の角なので、$\sin \beta < 0$ です。$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

よって、$\sin \beta = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\sin(\alpha + \beta)$ と $\cos(\alpha + \beta)$ を求めます。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + (-\frac{\sqrt{5}}{3}) \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{2}{9} + \frac{2\sqrt{10}}{9} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{9}$

$\cos(\alpha + \beta) = (-\frac{\sqrt{5}}{3}) \cdot \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = -\frac{\sqrt{5}}{9} + \frac{4\sqrt{2}}{9} = \frac{-\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{9}$

(2) $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{2} - \sqrt{5}}{9}$