四面体OABCにおいて、ベクトルOGが $\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$ で与えられている。直線AGと三角形OBCの交点をQとしたとき、位置ベクトル$\vec{OQ}$を$\vec{OB}$と$\vec{OC}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、ベクトルOGが $\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$ で与えられている。直線AGと三角形OBCの交点をQとしたとき、位置ベクトル$\vec{OQ}$を$\vec{OB}$と$\vec{OC}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Qが直線AG上にあることから、実数$k$を用いて

$\vec{OQ} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OG}$

と表すことができる。$\vec{OG}$に問題で与えられた式を代入すると

$\vec{OQ} = (1-k)\vec{OA} + k \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{4}$

$\vec{OQ} = (1-k+\frac{k}{4})\vec{OA} + \frac{k}{4}\vec{OB} + \frac{k}{4}\vec{OC}$

$\vec{OQ} = (1-\frac{3}{4}k)\vec{OA} + \frac{k}{4}\vec{OB} + \frac{k}{4}\vec{OC}$

次に、点Qは三角形OBC上にあるので、$\vec{OQ}$は$\vec{OB}$と$\vec{OC}$の線形結合で表される。つまり$\vec{OA}$の係数が0となる。

$1 - \frac{3}{4}k = 0$

これを解くと $k = \frac{4}{3}$

これを$\vec{OQ}$の式に代入すると

$\vec{OQ} = (1 - \frac{3}{4} \times \frac{4}{3}) \vec{OA} + \frac{4/3}{4} \vec{OB} + \frac{4/3}{4} \vec{OC}$

$\vec{OQ} = 0 \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OB} + \frac{1}{3} \vec{OC}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{3} \vec{OB} + \frac{1}{3} \vec{OC}$

3. 最終的な答え

$\vec{OQ} = \frac{1}{3} \vec{OB} + \frac{1}{3} \vec{OC}$