平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$ を満たすとする。 (1) 実数 $p, q$ に対して $\vec{c} = p\vec{a} + q\vec{b}$ とおく。 $|\vec{c}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{c} = 0, p > 0$ を満たす実数 $p, q$ を求めよ。 (2) 平面上のベクトル $\vec{x}$ が $-1 \le \vec{a} \cdot \vec{x} \le 1, 1 \le \vec{b} \cdot \vec{x} \le 2$ を満たすとき、 $|\vec{x}|$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

平面上のベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ が $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$ を満たすとする。

(1) 実数 $p, q$ に対して $\vec{c} = p\vec{a} + q\vec{b}$ とおく。 $|\vec{c}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{c} = 0, p > 0$ を満たす実数 $p, q$ を求めよ。

(2) 平面上のベクトル $\vec{x}$ が $-1 \le \vec{a} \cdot \vec{x} \le 1, 1 \le \vec{b} \cdot \vec{x} \le 2$ を満たすとき、 $|\vec{x}|$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{c} = p\vec{a} + q\vec{b}$ に対して、

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ より、

$\vec{a} \cdot (p\vec{a} + q\vec{b}) = 0$

$p|\vec{a}|^2 + q(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$p - \frac{1}{2}q = 0$

$q = 2p$

$|\vec{c}| = 1$ より、

$|\vec{c}|^2 = 1$

$(p\vec{a} + q\vec{b}) \cdot (p\vec{a} + q\vec{b}) = 1$

$p^2|\vec{a}|^2 + 2pq(\vec{a} \cdot \vec{b}) + q^2|\vec{b}|^2 = 1$

$p^2 + 2p(2p)(-\frac{1}{2}) + (2p)^2 = 1$

$p^2 - 2p^2 + 4p^2 = 1$

$3p^2 = 1$

$p^2 = \frac{1}{3}$

$p = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$p > 0$ より、 $p = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$q = 2p = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(2)

$\vec{a} \cdot \vec{x} = u, \vec{b} \cdot \vec{x} = v$ とおく。 $-1 \le u \le 1, 1 \le v \le 2$

$\vec{x} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とおく。

$\vec{a} \cdot \vec{x} = s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = s - \frac{1}{2}t = u$

$\vec{b} \cdot \vec{x} = s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 = -\frac{1}{2}s + t = v$

これを $s, t$ について解くと、

$2s - t = 2u$

$-s + 2t = 2v$

$4s - 2t = 4u$

$3s = 4u + 2v$

$s = \frac{4u + 2v}{3}$

$2s - t = 2u$ より、 $t = 2s - 2u = 2(\frac{4u+2v}{3}) - 2u = \frac{8u+4v-6u}{3} = \frac{2u+4v}{3}$

$\vec{x} = \frac{4u+2v}{3}\vec{a} + \frac{2u+4v}{3}\vec{b}$

$|\vec{x}|^2 = (\frac{4u+2v}{3})^2 + (\frac{2u+4v}{3})^2 + 2(\frac{4u+2v}{3})(\frac{2u+4v}{3})(-\frac{1}{2})$

$= \frac{1}{9}(16u^2 + 16uv + 4v^2 + 4u^2 + 16uv + 16v^2 - (8u^2 + 20uv + 8v^2))$

$= \frac{1}{9}(16u^2 + 4u^2 - 8u^2 + 4v^2 + 16v^2 - 8v^2 + 16uv + 16uv - 20uv)$

$= \frac{1}{9}(12u^2 + 12v^2 + 12uv) = \frac{4}{3}(u^2 + uv + v^2)$

$|\vec{x}| = \sqrt{\frac{4}{3}(u^2 + uv + v^2)}$

$-1 \le u \le 1, 1 \le v \le 2$

$u^2, v^2$ の最小値は $u=0, v=1$ のとき、 $u^2+v^2=1$

$uv$ の最小値は $u=-1, v=1$ のとき、 $uv=-1$

$u^2 + uv + v^2$ の最小値は $0 + (-1) + 1 = 0$ではない。$u=0, v=1$のとき、 $0^2+0+1^2 = 1$

$u^2, v^2$ の最大値は $u=\pm 1, v=2$ のとき、 $u^2+v^2=5$

$uv$ の最大値は $u=1, v=2$ のとき、 $uv=2$

$u^2 + uv + v^2$ の最大値は $1+2+4 = 7$

$|\vec{x}|^2$ の最小値は $\frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$ なので、 $|\vec{x}| \ge \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$|\vec{x}|^2$ の最大値は $\frac{4}{3}(7) = \frac{28}{3}$ なので、 $|\vec{x}| \le \sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$

よって、$\frac{2\sqrt{3}}{3} \le |\vec{x}| \le \frac{2\sqrt{21}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{1}{\sqrt{3}}, q = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(2) $\frac{2\sqrt{3}}{3} \le |\vec{x}| \le \frac{2\sqrt{21}}{3}$