図において、$\triangle ABE$ と $\triangle ABC$ の面積比を求めます。図には、$BD:DC = 2:3$、 $BE:ED = 3:1$ という情報が与えられています。

1. 問題の内容

図において、$\triangle ABE$ と $\triangle ABC$ の面積比を求めます。図には、$BD:DC = 2:3$、 $BE:ED = 3:1$ という情報が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABD$ と $\triangle ADC$ の面積比を考えます。これらの三角形は高さが共通なので、面積比は底辺の比に等しくなります。したがって、

$\triangle ABD : \triangle ADC = BD : DC = 2 : 3$

次に、$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ADC$ であるため、$\triangle ABC$ を基準とすると、

$\triangle ABD = \frac{2}{2+3} \triangle ABC = \frac{2}{5} \triangle ABC$

次に、$\triangle ABE$ と $\triangle ADE$ の面積比を考えます。これらの三角形も高さが共通なので、面積比は底辺の比に等しくなります。したがって、

$\triangle ABE : \triangle ADE = BE : ED = 3 : 1$

次に、$\triangle ABD = \triangle ABE + \triangle ADE$ であるため、$\triangle ABD$ を基準とすると、

$\triangle ABE = \frac{3}{3+1} \triangle ABD = \frac{3}{4} \triangle ABD$

したがって、

$\triangle ABE = \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} \triangle ABC = \frac{6}{20} \triangle ABC = \frac{3}{10} \triangle ABC$

ゆえに、

$\triangle ABE : \triangle ABC = \frac{3}{10} : 1 = 3 : 10$

3. 最終的な答え

$\triangle ABE : \triangle ABC = 3 : 10$