円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle ABC = 35^\circ$, $\angle BCD = 130^\circ$が与えられています。線分AEとDEの交点をEとし、$\angle AED = \theta$とします。$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle ABC = 35^\circ$, $\angle BCD = 130^\circ$が与えられています。線分AEとDEの交点をEとし、$\angle AED = \theta$とします。$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の対角の和は180°であることを利用して、$\angle BAD$を求めます。

$\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$

$130^\circ + \angle BAD = 180^\circ$

$\angle BAD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

次に、$\angle BCD = 130^\circ$より、$\angle BDA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$とわかります。これは円周角の定理から導かれます。

$\angle ADB = \angle ACB$であるので、円周角の定理を利用して、$\angle ACB = \angle ADB=35^\circ$

次に、$\angle ADC$を求めます。

$\angle ADC = \angle ADB =50$

円周角の定理より、$\angle BAC=35°$

次に、三角形ADEにおいて、$\angle AED = \theta$なので、三角形の内角の和の定理より、

$\angle AED = 180 - (50 + 35)=95°$

$\angle AED = 180 - (\angle EAD + \angle ADE) = 180 - (35^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$

よって、$\theta = 95^\circ$となります。

3. 最終的な答え

$\theta = 95^\circ$