平面 $2x+2y+z=2$ の、$x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ の範囲にある部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

平面 $2x+2y+z=2$ の、$x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ の範囲にある部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、平面と各座標平面との交点を求めます。

* x軸との交点: $y=0, z=0$ を代入すると、$2x=2$ より $x=1$。よって、交点は $(1,0,0)$。

* y軸との交点: $x=0, z=0$ を代入すると、$2y=2$ より $y=1$。よって、交点は $(0,1,0)$。

* z軸との交点: $x=0, y=0$ を代入すると、$z=2$。よって、交点は $(0,0,2)$。

この平面と$x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$の範囲にある部分は、3点$(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,2)$を頂点とする三角形です。この三角形の面積を求めます。

三角形の面積を求めるために、ベクトル $\vec{a} = (0,1,0)-(1,0,0) = (-1,1,0)$ とベクトル $\vec{b} = (0,0,2)-(1,0,0) = (-1,0,2)$ を考えます。

この二つのベクトルで作られる平行四辺形の面積は $|\vec{a} \times \vec{b}|$ で与えられます。三角形の面積はその半分です。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2-0)\vec{i} - (-2-0)\vec{j} + (0-(-1))\vec{k} = (2, 2, 1)$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

したがって、求める三角形の面積は $\frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$