円 $x^2 + y^2 = 4$ を $C$ とする。$C$ 上を動く点 $P$ と点 $A(4, 4)$ に対して、線分 $AP$ を $1:2$ に内分する点 $R$ の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ を $C$ とする。$C$ 上を動く点 $P$ と点 $A(4, 4)$ に対して、線分 $AP$ を $1:2$ に内分する点 $R$ の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $R$ の座標を $(x, y)$ とし、点 $P$ の座標を $(s, t)$ とする。

点 $P$ は円 $C$ 上の点であるから、

$s^2 + t^2 = 4$ ...(1)

点 $R$ は線分 $AP$ を $1:2$ に内分する点であるから、

$x = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot s}{1 + 2} = \frac{8 + s}{3}$,

$y = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot t}{1 + 2} = \frac{8 + t}{3}$.

したがって、

$s = 3x - 8$,

$t = 3y - 8$ ...(2)

(2)を(1)に代入すると、

$(3x - 8)^2 + (3y - 8)^2 = 4$.

$9x^2 - 48x + 64 + 9y^2 - 48y + 64 = 4$.

$9x^2 - 48x + 9y^2 - 48y + 124 = 0$.

$x^2 - \frac{16}{3}x + y^2 - \frac{16}{3}y + \frac{124}{9} = 0$.

$(x - \frac{8}{3})^2 - (\frac{8}{3})^2 + (y - \frac{8}{3})^2 - (\frac{8}{3})^2 + \frac{124}{9} = 0$.

$(x - \frac{8}{3})^2 + (y - \frac{8}{3})^2 = \frac{64}{9} + \frac{64}{9} - \frac{124}{9} = \frac{128 - 124}{9} = \frac{4}{9}$.

したがって、点 $R$ の軌跡は、中心 $(\frac{8}{3}, \frac{8}{3})$, 半径 $\frac{2}{3}$ の円である。

3. 最終的な答え

点 $R$ の軌跡は、中心 $(\frac{8}{3}, \frac{8}{3})$, 半径 $\frac{2}{3}$ の円である。