放物線 $y = 2x^2$ と直線 $l: y = -2x + 12$ が2点A, Bで交わっている。点C, Pはそれぞれ直線 $l$ と $y$ 軸, $x$ 軸との交点である。 (1) 点A, B, Pの座標を求めよ。 (2) 線分AB上に点Dがあり、$\triangle OAD : \triangle ODB = 4:1$ となるとき、点Dの座標を求めよ。 (3) $\triangle OAC$ と $\triangle OPB$ の面積比を最も簡単な整数で表せ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ と直線 $l: y = -2x + 12$ が2点A, Bで交わっている。点C, Pはそれぞれ直線 $l$ と $y$ 軸, $x$ 軸との交点である。

(1) 点A, B, Pの座標を求めよ。

(2) 線分AB上に点Dがあり、$\triangle OAD : \triangle ODB = 4:1$ となるとき、点Dの座標を求めよ。

(3) $\triangle OAC$ と $\triangle OPB$ の面積比を最も簡単な整数で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

$y = 2x^2$ と $y = -2x + 12$ の交点を求めるので、連立方程式を解く。

$2x^2 = -2x + 12$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

$x = -3$ のとき $y = 2(-3)^2 = 18$

$x = 2$ のとき $y = 2(2)^2 = 8$

よって、点A(2, 8), 点B(-3, 18)

点Pの座標を求める。

直線 $y = -2x + 12$ と $x$ 軸の交点なので、 $y = 0$ を代入。

$0 = -2x + 12$

$2x = 12$

$x = 6$

よって、点P(6, 0)

(2) 点Dの座標を求める。

$\triangle OAD : \triangle ODB = 4:1$ より、線分AD : DB = 4 : 1

点Dは線分ABを4:1に内分する点である。

点A(2, 8), 点B(-3, 18)

点Dの座標は、

$x = \frac{4(-3) + 1(2)}{4+1} = \frac{-12+2}{5} = \frac{-10}{5} = -2$

$y = \frac{4(18) + 1(8)}{4+1} = \frac{72+8}{5} = \frac{80}{5} = 16$

よって、点D(-2, 16)

(3) $\triangle OAC$ と $\triangle OPB$ の面積比を求める。

点Cは直線 $y = -2x + 12$ と $y$ 軸の交点なので、 $x = 0$ を代入。

$y = -2(0) + 12 = 12$

よって、点C(0, 12)

$\triangle OAC = \frac{1}{2} \times OC \times (Aのx座標) = \frac{1}{2} \times 12 \times 2 = 12$

$\triangle OPB = \frac{1}{2} \times OP \times (Bのy座標) = \frac{1}{2} \times 6 \times 18 = 54$

$\triangle OAC : \triangle OPB = 12 : 54 = 2 : 9$

3. 最終的な答え

(1) A(2, 8), B(-3, 18), P(6, 0)

(2) D(-2, 16)

(3) 2 : 9