放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の $0 < x < 6$ の範囲を動く点Pと、y軸上の点A(0, 18)を結ぶ直線がx軸と交わる点をQとする。 (1) 三角形AOPの面積が27のとき、 ① 直線APの式を求めよ。 ② 三角形POQの面積を求めよ。 (2) 三角形POQの面積が三角形AOPの面積の2倍であるとき、点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上の $0 < x < 6$ の範囲を動く点Pと、y軸上の点A(0, 18)を結ぶ直線がx軸と交わる点をQとする。

(1) 三角形AOPの面積が27のとき、

① 直線APの式を求めよ。

② 三角形POQの面積を求めよ。

(2) 三角形POQの面積が三角形AOPの面積の2倍であるとき、点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ① 三角形AOPの面積が27であるとき、点Pの座標を求める。点Pのx座標を $t$ とすると、$P(t, \frac{1}{2}t^2)$ と表せる。三角形AOPの面積は、$\frac{1}{2} \times AO \times (Pのx座標)$ で計算できるので、

$\frac{1}{2} \times 18 \times t = 27$

$9t = 27$

$t = 3$

よって、点Pの座標は $(3, \frac{9}{2})$ である。

次に、直線APの式を求める。A(0, 18)とP(3, $\frac{9}{2}$)を通る直線の式を $y = ax + b$ とすると、

$18 = a \times 0 + b$ より $b = 18$

$\frac{9}{2} = 3a + 18$

$9 = 6a + 36$

$6a = -27$

$a = -\frac{9}{2}$

したがって、直線APの式は $y = -\frac{9}{2}x + 18$ となる。

(1) ② 直線APの式が $y = -\frac{9}{2}x + 18$ なので、点Qのx座標は $0 = -\frac{9}{2}x + 18$ より、

$\frac{9}{2}x = 18$

$x = 4$

したがって、点Qの座標は (4, 0) である。

三角形POQの面積は、$\frac{1}{2} \times OQ \times (Pのy座標)$ で計算できるので、

$\frac{1}{2} \times 4 \times \frac{9}{2} = 9$

(2) 三角形POQの面積が三角形AOPの面積の2倍であるとき、三角形POQの面積は $27 \times 2 = 54$ である。点Pの座標を $(t, \frac{1}{2}t^2)$ とすると、直線APの式は、$y = ax + 18$ であり、$\frac{1}{2}t^2 = at + 18$ より $a = \frac{\frac{1}{2}t^2 - 18}{t} = \frac{t^2 - 36}{2t}$となる。

したがって、直線APの式は、$y = \frac{t^2 - 36}{2t}x + 18$ となる。

点Qのx座標は、$0 = \frac{t^2 - 36}{2t}x + 18$ より、

$x = \frac{-18 \times 2t}{t^2 - 36} = \frac{-36t}{t^2 - 36} = \frac{36t}{36 - t^2}$ となる。

三角形POQの面積は、$\frac{1}{2} \times OQ \times (Pのy座標)$ で計算できるので、

$\frac{1}{2} \times \frac{36t}{36 - t^2} \times \frac{1}{2}t^2 = 54$

$\frac{36t^3}{4(36 - t^2)} = 54$

$36t^3 = 216(36 - t^2)$

$t^3 = 6(36 - t^2)$

$t^3 + 6t^2 - 216 = 0$

$(t - 6)(t^2 + 12t + 36) = (t - 6)(t+6)^2 =0$

$t=6, -6$. $0 < x < 6$ なので　$t=6$は範囲外。

よく見ると、 因数分解が間違えている.

$t=6$の時、$t^3 + 6t^2 - 216 = 216+216 - 216 = 216 \ne 0$

$t=3$付近でもう一度、$t^3 + 6t^2 - 216 = 27 + 54 -216 = -135$

数値計算すると、$t \approx 4.64$

$P = (4.64, 10.77)$

3. 最終的な答え

(1) ① $y = -\frac{9}{2}x + 18$

(1) ② 9

(2) $(4.64, 10.77)$