$\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $BC = 4$ の直角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ およびその外角の二等分線が $BC$ およびその延長と交わる点をそれぞれ $P$, $Q$ とするとき、$PQ$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $BC = 4$ の直角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ およびその外角の二等分線が $BC$ およびその延長と交わる点をそれぞれ $P$, $Q$ とするとき、$PQ$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$ABC$ は直角三角形なので、$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ である。

次に、角の二等分線の性質を用いる。

$AP$ は $\angle BAC$ の二等分線であるから、$\angle BAP = \angle CAP = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$ である。

よって、三角形 $ABP$ において、$\angle APB = 180^\circ - \angle B - \angle BAP = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$ となる。

よって、$\angle APC = 180^\circ - \angle APB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$ となる。

また、外角の二等分線 $AQ$ について考える。

$\angle A$ の外角は $180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ であるから、$\angle CAQ = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$ となる。

三角形 $ACQ$ において、$\angle AQC = 180^\circ - \angle C - \angle CAQ = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$ となる。

また、$\angle BAQ = \angle BAC + \angle CAQ = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ であり、三角形 $ABQ$ において、$\angle AQB = 180^\circ - \angle B - \angle BAQ = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$ となる。

ここで、三角形 $ABC$ において、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$AC = BC \frac{\sin B}{\sin A} = 4 \times \frac{\sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = 4 \times \frac{1/2}{1} = 2$

また、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$AB = BC \frac{\sin C}{\sin A} = 4 \times \frac{\sin 60^\circ}{\sin 90^\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{3}/2}{1} = 2\sqrt{3}$

$AP$は$\angle A$の二等分線だから、$\frac{BP}{PC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$BP = \sqrt{3} PC$, $BC = BP + PC = \sqrt{3} PC + PC = (\sqrt{3} + 1)PC = 4$,

$PC = \frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 2(\sqrt{3}-1)$

$BP = 4 - 2(\sqrt{3}-1) = 4 - 2\sqrt{3} + 2 = 6 - 2\sqrt{3}$

$AQ$は$\angle A$の外角の二等分線だから、$\frac{BQ}{CQ} = \frac{AB}{AC} = \sqrt{3}$

$BQ = \sqrt{3} CQ$, $BQ = BC + CQ = 4 + CQ$,

$4+CQ = \sqrt{3}CQ$, $(\sqrt{3}-1)CQ = 4$

$CQ = \frac{4}{\sqrt{3}-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1} = 2(\sqrt{3}+1)$

$BQ = 4 + 2(\sqrt{3}+1) = 4 + 2\sqrt{3} + 2 = 6 + 2\sqrt{3}$

$PQ = BQ - BP = (6+2\sqrt{3}) - (6-2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$PQ = 4\sqrt{3}$