円 $C: x^2 + y^2 + 2x - 6y + 1 = 0$ 上の点と、直線 $l: y = \sqrt{3}x - 5 + \sqrt{3}$ との距離の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 + 2x - 6y + 1 = 0$ 上の点と、直線 $l: y = \sqrt{3}x - 5 + \sqrt{3}$ との距離の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円 $C$ の方程式を平方完成して、中心と半径を求めます。

$x^2 + 2x + y^2 - 6y + 1 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 1 - 1 - 9 = 0$

$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 9$

したがって、円 $C$ の中心は $(-1, 3)$ 、半径は $3$ です。

次に、直線 $l$ の方程式を一般形に変形します。

$y = \sqrt{3}x - 5 + \sqrt{3}$

$\sqrt{3}x - y - 5 + \sqrt{3} = 0$

点と直線の距離の公式を使って、円の中心 $(-1, 3)$ と直線 $l$ との距離 $d$ を求めます。

$d = \frac{|\sqrt{3}(-1) - 3 - 5 + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|-\sqrt{3} - 8 + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$

$d = \frac{|-8|}{\sqrt{4}}$

$d = \frac{8}{2} = 4$

円上の点と直線の距離の最大値は、$d + r$ であり、最小値は $|d - r|$ です。

最大値は $4 + 3 = 7$

最小値は $|4 - 3| = 1$

3. 最終的な答え

最大値は 7 であり、最小値は 1 である。