(1) 不等式 $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ が表す領域の面積を求めます。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$ が表す領域の面積を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ が表す領域の面積を求めます。

(2) 連立不等式

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0 \\ y - x \le 6 \end{cases}$

が表す領域の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2 + y^2 \le |x| + |y|$ について考えます。

この不等式は、$x$ と $y$ に関して偶関数であるため、第1象限 ($x \ge 0$ かつ $y \ge 0$) の領域を考えて、それを4倍すればよいです。

第1象限では、$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ なので、$|x| = x$ および $|y| = y$ となります。

したがって、$x^2 + y^2 \le x + y$ となります。

これを変形すると、

$x^2 - x + y^2 - y \le 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \le 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{2}$

これは、中心が $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 、半径が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円を表します。

この円が第1象限に存在する部分の面積は、円の $\frac{1}{4}$ であるので、

$\frac{1}{4} \pi (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{4} \pi \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$

したがって、求める面積は、これを4倍した $4 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$ となります。

また、$x=0$または$y=0$の時も領域に含まれるので、追加で正方形の面積が必要になります。$x=0$の場合は、$y^2 \le |y|$より$-1 \le y \le 1$、$y=0$の場合は、$x^2 \le |x|$より$-1 \le x \le 1$となるので、正方形の面積は$(2 \cdot 2) - \frac{\pi}{2}$

$4 - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 4$となる。

4つの象限の面積を合計すると、$4$になります。

(2) 連立不等式について考えます。

$x^2 + y^2 - 6|x| - 6y \le 0$ より、$x \ge 0$ のとき $x^2 + y^2 - 6x - 6y \le 0$ であり、$x < 0$ のとき $x^2 + y^2 + 6x - 6y \le 0$ です。

また、$y - x \le 6$ より、$y \le x + 6$ です。

$x \ge 0$ のとき、$x^2 - 6x + y^2 - 6y \le 0$ より $(x-3)^2 + (y-3)^2 \le 18$

$x < 0$ のとき、$x^2 + 6x + y^2 - 6y \le 0$ より $(x+3)^2 + (y-3)^2 \le 18$

$(x-3)^2 + (y-3)^2 \le 18$ は中心 $(3,3)$, 半径 $3\sqrt{2}$ の円を表します。$x \ge 0$の部分を考えます。

$(x+3)^2 + (y-3)^2 \le 18$ は中心 $(-3,3)$, 半径 $3\sqrt{2}$ の円を表します。$x < 0$の部分を考えます。

$y \le x+6$ は直線 $y = x+6$ の下側の領域を表します。

2つの円の重なり合う部分と$y \le x+6$の領域の面積を計算します。

2つの円は、$x$軸に関して対称であり、$y = x+6$ は2つの円の中心を通るので、求める面積は、2つの半円の面積と、2つの円が重なっている部分の面積となります。

半径が$3\sqrt{2}$なので、円の面積は$18\pi$、半円の面積は$9\pi$となります。

2つの半円の面積は$18\pi$

求める領域は2つの半円を合わせたものになり、直線によって中心を結ぶ線分が分割され、直線の分割された円弧より下になる部分の和。中心間の距離は

6. 直線までの距離は3, 半径が$3\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $18\pi + 36$