点F(3, 0)と直線x = 1からの距離の比が$\sqrt{3} : 1$である点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点F(3, 0)と直線x = 1からの距離の比が$\sqrt{3} : 1$である点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とする。

点Pと点F(3, 0)との距離PFは、

$PF = \sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

点Pと直線x = 1との距離は、$|x-1|$

問題文より、$PF : |x-1| = \sqrt{3} : 1$なので、

$PF = \sqrt{3}|x-1|$

両辺を2乗すると、

$(x-3)^2 + y^2 = 3(x-1)^2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 3(x^2 - 2x + 1)$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 3x^2 - 6x + 3$

$0 = 2x^2 - y^2 - 6$

$2x^2 - y^2 = 6$

両辺を6で割ると、

$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$

3. 最終的な答え

双曲線: $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$