底面の半径が4cm、母線の長さが16cmの円錐がある。底面の周上にある点Aから、円錐の側面を1周してもとの点Aまで、ひもをゆるまないようにかける。このとき、以下の2つの問いに答えよ。 (1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求めよ。 (2) ひもの長さがもっとも短くなるとき、その長さを求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が4cm、母線の長さが16cmの円錐がある。底面の周上にある点Aから、円錐の側面を1周してもとの点Aまで、ひもをゆるまないようにかける。このとき、以下の2つの問いに答えよ。

(1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角を求めよ。

(2) ひもの長さがもっとも短くなるとき、その長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の展開図における扇形の中心角の求め方

円錐の底面の円周の長さは $2 \pi r$ であり、r=4なので $2 \pi \times 4 = 8 \pi$ cm。

円錐の母線の長さは16cmなので、展開図の扇形の半径は16cm。よって展開図の扇形の弧の長さは円錐の底面の円周の長さに等しいので $8 \pi$ cm。

扇形の弧の長さL、半径R、中心角$\theta$の関係は $L = R \theta$。

よって $8 \pi = 16 \theta$ より $\theta = \frac{8\pi}{16} = \frac{\pi}{2}$ (ラジアン)。

これを度数法に変換すると $\frac{\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = 90$ 度。

(2) ひもの長さが最短になるとき

円錐の展開図を考える。点Aから点Aまでひもを張るので、展開図上では点Aから点Aまでの直線となる。

このとき、最短距離となるのは、点Aと点Aを結ぶ線分になる。

扇形の半径は16cmであり、中心角は90度なので、この線分は直角二等辺三角形の斜辺となる。

よって、最短距離は三平方の定理より、 $\sqrt{16^2 + 16^2} = \sqrt{2 \times 16^2} = 16 \sqrt{2}$ cmとなる。

3. 最終的な答え

(1) 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角は 90 度。

(2) ひもの長さがもっとも短くなるとき、その長さは $16 \sqrt{2}$ cm。