直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 1$ と2点 $A(1, 4), B(5, 6)$ がある。 (1) 直線 $l$ に関して、点 $A$ と対称な点 $C$ の座標を求める。 (2) 直線 $l$ 上の点 $P$ で、$AP + PB$ を最小にするものの座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 1$ と2点 $A(1, 4), B(5, 6)$ がある。

(1) 直線 $l$ に関して、点 $A$ と対称な点 $C$ の座標を求める。

(2) 直線 $l$ 上の点 $P$ で、$AP + PB$ を最小にするものの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(1,4)$ と直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 1$ に関して対称な点 $C$ の座標を $(x,y)$ とします。

$A$ と $C$ の中点 $M$ の座標は$(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2})$ であり、$M$ は直線 $l$ 上にあるので、

$$\frac{y+4}{2} = \frac{1}{2}\frac{x+1}{2} + 1$$

$$2(y+4) = x + 1 + 4$$

$$2y+8 = x+5$$

$$x - 2y = 3 \qquad (1)$$

また、$AC$ は $l$ と垂直なので、$AC$ の傾きは $-2$ となります。

$AC$ の傾きは $\frac{y-4}{x-1}$ なので、

$$\frac{y-4}{x-1} = -2$$

$$y-4 = -2(x-1)$$

$$y - 4 = -2x + 2$$

$$2x + y = 6 \qquad (2)$$

(1) と (2) を解く。

(1) より $x = 2y+3$ を (2) に代入すると

$$2(2y+3) + y = 6$$

$$4y + 6 + y = 6$$

$$5y = 0$$

$$y = 0$$

$$x = 2(0) + 3 = 3$$

よって、$C(3,0)$

(2) $AP+PB$ を最小にする点 $P$ は、$A$ の直線 $l$ に関する対称点 $C(3,0)$ を使うと、$CP+PB$ が最小になる点 $P$ を求めればよいので、$CB$ の直線 $l$ との交点を $P$ とすればよい。

$CB$ の方程式を求める。

$C(3,0)$ と $B(5,6)$ を通る直線は

$$\frac{y-0}{x-3} = \frac{6-0}{5-3}$$

$$\frac{y}{x-3} = 3$$

$$y = 3(x-3) = 3x - 9$$

この直線と $l: y = \frac{1}{2}x + 1$ の交点を求める。

$$3x - 9 = \frac{1}{2}x + 1$$

$$6x - 18 = x + 2$$

$$5x = 20$$

$$x = 4$$

$$y = 3(4) - 9 = 12 - 9 = 3$$

よって、$P(4,3)$

3. 最終的な答え

(1) $(3, 0)$

(2) $(4, 3)$