曲線 $y = x^2 - 1$ 上を動く点Pと、直線 $y = x - 3$ 上を動く点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標と、そのときの距離を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 1$ 上を動く点Pと、直線 $y = x - 3$ 上を動く点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標と、そのときの距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^2 - 1$ 上の点Pを $(t, t^2 - 1)$ とおく。

(2) 点Pから直線 $y = x - 3$ までの距離 $d$ を求める。点と直線の距離の公式を用いる。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で与えられる。

直線 $y = x - 3$ は $x - y - 3 = 0$ と変形できるので、点P $(t, t^2 - 1)$ から直線 $x - y - 3 = 0$ までの距離 $d$ は、

$d = \frac{|t - (t^2 - 1) - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|t - t^2 + 1 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|-t^2 + t - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|t^2 - t + 2|}{\sqrt{2}}$

(3) $d$ を最小にする $t$ の値を求める。

$f(t) = t^2 - t + 2$ とおくと、$f(t) = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$ と平方完成できる。

$f(t)$ は常に正であるため、$|t^2 - t + 2| = t^2 - t + 2$ となる。

したがって、$d = \frac{t^2 - t + 2}{\sqrt{2}} = \frac{(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}}{\sqrt{2}}$ となり、$t = \frac{1}{2}$ のとき $d$ は最小値 $\frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$ をとる。

(4) $t = \frac{1}{2}$ のとき、点Pの座標は $(\frac{1}{2}, (\frac{1}{2})^2 - 1) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4} - 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ となる。

(5) 最小距離を与える点Qは、点P $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ を通り、直線 $y = x - 3$ に垂直な直線上にある。

直線 $y = x - 3$ の傾きは1なので、これに垂直な直線の傾きは $-1$ である。

よって、点P $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ を通り、傾き $-1$ の直線の方程式は、

$y - (-\frac{3}{4}) = -1(x - \frac{1}{2})$

$y + \frac{3}{4} = -x + \frac{1}{2}$

$y = -x + \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = -x - \frac{1}{4}$

この直線と直線 $y = x - 3$ の交点が点Qの座標である。

$-x - \frac{1}{4} = x - 3$

$2x = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$

$x = \frac{11}{8}$

$y = x - 3 = \frac{11}{8} - 3 = \frac{11}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{13}{8}$

よって、点Qの座標は $(\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$ である。

(6) 最小の距離は $d = \frac{7\sqrt{2}}{8}$ である。

3. 最終的な答え

点Qの座標: $(\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$

距離: $\frac{7\sqrt{2}}{8}$