加法定理を用いて、$\sin 195^\circ$ と $\cos 195^\circ$ の値を求める問題です。答えは、与えられた形式 $\frac{\pm\sqrt{イ} - \sqrt{ウ}}{エ}$ で記述する必要があります。ここで、イ < ウ とします。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$\sin 195^\circ$ と $\cos 195^\circ$ の値を求める問題です。答えは、与えられた形式 $\frac{\pm\sqrt{イ} - \sqrt{ウ}}{エ}$ で記述する必要があります。ここで、イ < ウ とします。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 195^\circ$ の場合：

$\sin 195^\circ = \sin(180^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ$

$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、$\sin 195^\circ = -\sin 15^\circ = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

これを与えられた形式 $\frac{\pm\sqrt{イ} - \sqrt{ウ}}{エ}$ と比較すると、

$\sin 195^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ となり、アはプラス、イ = 2、ウ = 6、エ = 4 となります。

(2) $\cos 195^\circ$ の場合：

$\cos 195^\circ = \cos(180^\circ + 15^\circ) = -\cos 15^\circ$

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、$\cos 195^\circ = -\cos 15^\circ = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$= \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

これを与えられた形式 $\frac{\pm\sqrt{イ} - \sqrt{ウ}}{エ}$ と比較すると、

$\cos 195^\circ = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ となり、アはマイナス、イ = 2、ウ = 6、エ = 4 となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin 195^\circ$：

ア：+

イ：2

ウ：6

エ：4

(2) $\cos 195^\circ$：

ア：-

イ：2

ウ：6

エ：4