(1) 放物線 $y = x^2 + 1$ 上を動く点Pと、定点 A(2, -1) を結ぶ線分の中点の軌跡を求める。 (2) 円 $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ 上を動く点Pと、2点 A(3, 1), B(1, -4) を頂点とする三角形 ABP の重心Gの軌跡は、中心が点(a, b), 半径 r の円となる。このとき、a, b, r の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 + 1$ 上を動く点Pと、定点 A(2, -1) を結ぶ線分の中点の軌跡を求める。

(2) 円 $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ 上を動く点Pと、2点 A(3, 1), B(1, -4) を頂点とする三角形 ABP の重心Gの軌跡は、中心が点(a, b), 半径 r の円となる。このとき、a, b, r の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を $(s, s^2 + 1)$ とおく。線分APの中点の座標を $(x, y)$ とおくと、

$x = \frac{s+2}{2}$

$y = \frac{s^2 + 1 - 1}{2} = \frac{s^2}{2}$

$s = 2x - 2$ を $y = \frac{s^2}{2}$ に代入して、

$y = \frac{(2x-2)^2}{2} = \frac{4(x-1)^2}{2} = 2(x-1)^2$

したがって、中点の軌跡は $y = 2(x-1)^2$ である。

(2) 円の式を変形すると $(x+1)^2 + y^2 = 4$ となる。

これは中心が $(-1, 0)$、半径が $2$ の円である。

点Pの座標を $(x, y)$ とおくと、重心 G の座標を $(X, Y)$ とすると、

$X = \frac{x+3+1}{3} = \frac{x+4}{3}$

$Y = \frac{y+1-4}{3} = \frac{y-3}{3}$

よって、

$x = 3X - 4$

$y = 3Y + 3$

これを円の方程式 $(x+1)^2 + y^2 = 4$ に代入して、

$(3X-4+1)^2 + (3Y+3)^2 = 4$

$(3X-3)^2 + (3Y+3)^2 = 4$

$9(X-1)^2 + 9(Y+1)^2 = 4$

$(X-1)^2 + (Y+1)^2 = \frac{4}{9}$

したがって、重心 G の軌跡は中心が $(1, -1)$、半径が $\frac{2}{3}$ の円となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x-1)^2$

(2) $a = 1, b = -1, r = \frac{2}{3}$