(1) $2$ (rad) は、与えられた角度 $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, 2\pi$ のうち、どの2つの角度の間に入るか答える。 (2) $1$ (rad) を度数法に変換したとき、$60^\circ$ をやや下回る大きさであることを、単位円を用いて説明する。 (3) $\pi = 3.14$ とするとき、$\sin 1.57$ と $\cos 3.14$ の値をそれぞれ求める。 (4) $4$ (rad) の動径が第何象限にあるか答える。

1. 問題の内容

(1) $2$ (rad) は、与えられた角度 $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}, 2\pi$ のうち、どの2つの角度の間に入るか答える。

(2) $1$ (rad) を度数法に変換したとき、$60^\circ$ をやや下回る大きさであることを、単位円を用いて説明する。

(3) $\pi = 3.14$ とするとき、$\sin 1.57$ と $\cos 3.14$ の値をそれぞれ求める。

(4) $4$ (rad) の動径が第何象限にあるか答える。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた角度を数値で評価する。$\pi \approx 3.14$ であるから、各角度は以下のようになる。

$0 = 0$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} \approx 0.79$

$\frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.05$

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} \approx 1.57$

$\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \times 3.14}{3} \approx 2.09$

$\frac{3\pi}{4} \approx \frac{3 \times 3.14}{4} \approx 2.36$

$\frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \times 3.14}{6} \approx 2.62$

$2\pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28$

$2$ (rad) は $2.09$ より小さいが、$1.57$ より大きいので、$\frac{\pi}{2}$ と $\frac{2\pi}{3}$ の間にある。

(2) $1$ (rad) を度数法に変換するには、$\pi \text{ rad} = 180^\circ$ を使う。

$1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx \frac{180^\circ}{3.14} \approx 57.3^\circ$

$57.3^\circ$ は $60^\circ$ をやや下回る大きさである。

単位円で説明すると、半径が1の円において、弧長が1となる中心角が1ラジアンである。正三角形の一つの内角は60度だが、正三角形の一辺を単位円の半径としたときの弧長は1より大きくなるため、中心角が1ラジアンのときは60度より小さくなる。

(3) $\sin 1.57 \approx \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$\cos 3.14 \approx \cos \pi = -1$

(4) $4$ (rad) について、$4 \approx 1.27\pi$ である。

$\pi \approx 3.14$ であるので、

$\pi < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$

$\frac{3\pi}{2} < 4 < 2\pi$ ではないので第3象限ではない。

よって、$4$ (rad) の動径は第3象限にある。$2\pi - 4 \approx 2.28$ より、$4$ラジアンはx軸から-2.28だけ回転したところになる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$ と $\frac{2\pi}{3}$

(2) $\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ$ は $60^\circ$ をやや下回る。

(3) $\sin 1.57 \approx 1$, $\cos 3.14 \approx -1$

(4) 第3象限