三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたとき、指定された辺の長さを求めます。 (1) $b=8$, $A=60^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$a$を求める。 (2) $b=5\sqrt{3}$, $B=120^\circ$, $C=30^\circ$のとき、$c$を求める。 (3) $c=6$, $B=135^\circ$, $C=30^\circ$のとき、$b$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件が与えられたとき、指定された辺の長さを求めます。

(1) $b=8$, $A=60^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$a$を求める。

(2) $b=5\sqrt{3}$, $B=120^\circ$, $C=30^\circ$のとき、$c$を求める。

(3) $c=6$, $B=135^\circ$, $C=30^\circ$のとき、$b$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を用いて$a$を求めます。正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$です。

$A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $b = 8$を代入すると、

$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 45^\circ}$

$a = \frac{8 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}$

(2) 正弦定理を用いて$c$を求めます。正弦定理は、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$です。

$B = 120^\circ$, $C = 30^\circ$, $b = 5\sqrt{3}$を代入すると、

$\frac{5\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = \frac{c}{\sin 30^\circ}$

$c = \frac{5\sqrt{3} \sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{5\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5$

(3) まず、$A$を求めます。三角形の内角の和は180°なので、$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$です。

次に、正弦定理を用いて$b$を求めます。正弦定理は、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$です。

$B = 135^\circ$, $C = 30^\circ$, $c = 6$を代入すると、

$\frac{b}{\sin 135^\circ} = \frac{6}{\sin 30^\circ}$

$b = \frac{6 \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4\sqrt{6}$

(2) $c = 5$

(3) $b = 6\sqrt{2}$