与えられた方程式 $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - z + 8 = 0$ が表す球の中心と半径を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - z + 8 = 0$ が表す球の中心と半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

球の方程式の一般形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$ であり、中心が $(a, b, c)$、半径が $r$ です。与えられた方程式をこの形に変形します。

まず、$x, y, z$ それぞれについて平方完成を行います。

$x^2 - 6x$ の部分を平方完成すると、$(x - 3)^2 - 9$ となります。

$y^2 + 2y$ の部分を平方完成すると、$(y + 1)^2 - 1$ となります。

$z^2 - z$ の部分を平方完成すると、$(z - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ となります。

これらを元の式に代入すると、

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + (z - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 8 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - \frac{1}{2})^2 = 9 + 1 + \frac{1}{4} - 8$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - \frac{1}{2})^2 = 2 + \frac{1}{4}$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$

したがって、球の中心は $(3, -1, \frac{1}{2})$ であり、半径 $r$ は $r^2 = \frac{9}{4}$ より $r = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

中心：$(3, -1, \frac{1}{2})$

半径：$\frac{3}{2}$