直線 $l$ は $y = x + 2$ のグラフであり、$l$ と $y$ 軸との交点を $A$ とする。点 $P$ は原点 $O$ を出発し、$x$ 軸上を正の方向に動く点であり、$P$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と直線 $l$ との交点を $Q$ とする。台形 $AOPQ$ の面積が $30$ になるとき、線分 $OP$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l$ は $y = x + 2$ のグラフであり、$l$ と $y$ 軸との交点を $A$ とする。点 $P$ は原点 $O$ を出発し、$x$ 軸上を正の方向に動く点であり、$P$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と直線 $l$ との交点を $Q$ とする。台形 $AOPQ$ の面積が $30$ になるとき、線分 $OP$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$OP = x$ とおく。このとき、$Q$ の $x$ 座標は $x$ であり、$Q$ は直線 $l$ 上の点なので、$Q$ の $y$ 座標は $x + 2$ である。したがって、$AQ = x + 2$ となる。

台形 $AOPQ$ の面積は、

$$\frac{1}{2} (AO + PQ) \times OP = \frac{1}{2} (2 + (x+2)) \times x = \frac{1}{2} (x+4) x = \frac{1}{2} (x^2 + 4x)$$

これが $30$ に等しいので、

$$\frac{1}{2} (x^2 + 4x) = 30$$

$$x^2 + 4x = 60$$

$$x^2 + 4x - 60 = 0$$

これを解くと、

$$(x + 10)(x - 6) = 0$$

$x > 0$ より、

$$x = 6$$

3. 最終的な答え

線分 $OP$ の長さは $6$。