この問題は、高さ5メートルのすべり台において、斜面である長方形ABCDがあり、AD=BC=20メートル、AB=CD=40メートルである。 (1) $\sin \angle ADA'$ の値を求め、$\angle ADA'$ がどの範囲にあるか答える。 (2) 線分ABの中点をEとし、Eから平面A'B'CDに垂線EE'を下ろす。DEの長さを求め、$\angle EDE'$ がどの範囲にあるか答える。

1. 問題の内容

この問題は、高さ5メートルのすべり台において、斜面である長方形ABCDがあり、AD=BC=20メートル、AB=CD=40メートルである。

(1) $\sin \angle ADA'$ の値を求め、$\angle ADA'$ がどの範囲にあるか答える。

(2) 線分ABの中点をEとし、Eから平面A'B'CDに垂線EE'を下ろす。DEの長さを求め、$\angle EDE'$ がどの範囲にあるか答える。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin \angle ADA' = \frac{AA'}{AD}$ である。

$AA' = 5$ メートル、 $AD = 20$ メートルなので、

$\sin \angle ADA' = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0.25$

問題文の表から、$\sin 14^\circ = 0.2419$、$\sin 15^\circ = 0.2588$ である。

したがって、$14^\circ < \angle ADA' < 15^\circ$ となるので、選択肢の④が最も近い。

(2)

EはABの中点なので、AE = EB = $\frac{40}{2} = 20$ である。

$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}$

$EE' = 5$ メートルなので、

$\sin \angle EDE' = \frac{EE'}{DE} = \frac{5}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$

$\frac{\sqrt{2}}{8} \approx \frac{1.414}{8} \approx 0.17675$

問題文の表から、$\sin 10^\circ = 0.1736$、$\sin 11^\circ = 0.1908$ である。

したがって、$10^\circ < \angle EDE' < 11^\circ$ となるので、選択肢の③が最も近い。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle ADA' = \frac{1}{4}$ であり、$\angle ADA'$ について正しいものは④である。

(2) $DE = 20\sqrt{2}$ であり、$\angle EDE'$ について正しいものは③である。