正十角形に関する以下の3つの問題を解く。 (1) 対角線の本数を求める。 (2) 3個の頂点とする三角形の個数を求める。 (3) (2)で求めた三角形のうち、正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

1. 問題の内容

正十角形に関する以下の3つの問題を解く。

(1) 対角線の本数を求める。

(2) 3個の頂点とする三角形の個数を求める。

(3) (2)で求めた三角形のうち、正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線の本数を求める。

正十角形の頂点から2つの頂点を選ぶ組み合わせは ${}_{10}C_2$ 通りある。

ただし、隣り合う2つの頂点を選ぶと辺になるため、正十角形の辺の数である10を引く必要がある。

${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

よって、対角線の本数は $45 - 10 = 35$ 本。

(2) 3個を頂点とする三角形の個数を求める。

正十角形の10個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めれば良い。

${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(3) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求める。

正十角形の1つの辺を選び、その辺と共有する三角形を作るには、その辺以外の8個の頂点から1つを選べば良い。正十角形の辺は10本あるので、そのような三角形の数は $10 \times 8 = 80$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 対角線の本数：35本

(2) 3個を頂点とする三角形の個数：120個

(3) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数：80個