$\triangle ABC$において、$AP:PB = 2:3$, $AQ:QC = 1:2$となるように点P, Qをとる。線分BQ, PCの交点をO, 直線AOと辺BCの交点をRとする。このとき、$BR:RC$, $AO:OR$, $\triangle ABC : \triangle OBC$, $\triangle ABC : \triangle OBR$を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AP:PB = 2:3$, $AQ:QC = 1:2$となるように点P, Qをとる。線分BQ, PCの交点をO, 直線AOと辺BCの交点をRとする。このとき、$BR:RC$, $AO:OR$, $\triangle ABC : \triangle OBC$, $\triangle ABC : \triangle OBR$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$BR:RC$を求める。チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{2}{1} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{BR}{RC} = 1$

$\frac{BR}{RC} = \frac{3}{4}$

よって、$BR:RC = 3:4$

次に、$AO:OR$を求める。メネラウスの定理を$\triangle ABR$と直線PCに適用すると、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{14}{12} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{7}{6} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{6}{7}$

よって、$AO:OR = 7:6$

$\triangle ABC : \triangle OBC$を求める。

$\triangle ABC = \frac{BC}{RC} \cdot \triangle ARC = \frac{7}{4} \cdot \triangle ARC$

$\triangle OBC = \frac{BC}{RC} \cdot \triangle ORC = \frac{7}{4} \cdot \triangle ORC$

$\triangle ARC = \frac{AR}{AO} \triangle AOC + \frac{RC}{BC} \triangle ABC$

$\triangle ORC = \frac{OR}{AO} \triangle AOC$

$\frac{\triangle ARC}{\triangle ORC} = \frac{AO}{OR}$

$面積比= 底辺比 \times 高さ比$

$\frac{\triangle ABC}{\triangle OBC} = \frac{AO}{OR} = \frac{7}{6}$

したがって、$\triangle ABC: \triangle OBC = 7:6$

$\triangle ABC : \triangle OBR$を求める。

$\triangle OBC = \frac{BR}{BC} \triangle OBC = \frac{4}{7} \triangle OBR$

$\triangle OBC = \frac{6}{7} \triangle ABC$

$\frac{OBR}{ABC} = \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{6}$

$OBC = 6$ より

$\frac{\triangle OBR}{三角形 ABC} = \frac{6}{7}$

$\triangle ABR = \frac{BR}{BC} \triangle ABC = \frac{3}{7} \triangle ABC$

$\triangle OBR = \frac{OR}{AR} \triangle ABR = \frac{6}{13} \cdot \frac{3}{7} \triangle ABC = \frac{18}{91} \triangle ABC$

$\triangle ABC : \triangle OBR = 91:18$

3. 最終的な答え

BR:RC = 3:4

AO:OR = 7:6

△ABC: △OBC = 7:6

△ABC: △OBR = 91:18