原点を通る2つの直線が、円 $x^2 - 12x + y^2 - 4y + 30 = 0$ に点A, Bで接している。このとき、2本の直線と円で囲まれた部分の面積を求める。ただし、円の内部の面積は含めない。

1. 問題の内容

原点を通る2つの直線が、円 $x^2 - 12x + y^2 - 4y + 30 = 0$ に点A, Bで接している。このとき、2本の直線と円で囲まれた部分の面積を求める。ただし、円の内部の面積は含めない。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を標準形に変形する。

$x^2 - 12x + y^2 - 4y + 30 = 0$

$(x^2 - 12x) + (y^2 - 4y) + 30 = 0$

$(x^2 - 12x + 36) + (y^2 - 4y + 4) + 30 - 36 - 4 = 0$

$(x - 6)^2 + (y - 2)^2 = 10$

この円の中心は(6, 2)で、半径は$\sqrt{10}$である。

原点から円の中心(6, 2)までの距離をdとする。

$d = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

接線と円の中心を結ぶ線は半径に等しい。

また、接線と円の中心を結ぶ線と原点から円の中心を結ぶ線が作る角を$\theta$とすると、

$\sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{2}$

したがって、$\theta/2 = \frac{\pi}{6}$より、$\theta = \frac{\pi}{3}$である。

2本の接線が作る角は$\frac{\pi}{3}$である。

2つの接線と円の中心で作られる扇形の面積は、

$\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times (\sqrt{10})^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

2つの接線と円の中心で作られる三角形の面積は、

$2 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - (\sqrt{10})^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$

求める面積は、この三角形の面積から扇形の面積を引いたものである。

したがって、求める面積は$10\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3} = 10\sqrt{3} - \frac{5}{3}\pi$

選択肢を確認すると、これが選択肢(5)に対応している。

3. 最終的な答え

(5) $10\sqrt{3} - \frac{5}{3}\pi$