正四面体ABCDにおいて、頂点Bから正四面体の表面を通って頂点Dまで、紐がたるまないようにかける。紐が辺AC上の点Pを通るようにかけたとき、紐の長さ（BP+PD）を求めよ。正四面体の辺の長さは8cmである。答えは $\text{タ}\sqrt{\text{チ}}$ の形式で答える。

1. 問題の内容

正四面体ABCDにおいて、頂点Bから正四面体の表面を通って頂点Dまで、紐がたるまないようにかける。紐が辺AC上の点Pを通るようにかけたとき、紐の長さ（BP+PD）を求めよ。正四面体の辺の長さは8cmである。答えは $\text{タ}\sqrt{\text{チ}}$ の形式で答える。

2. 解き方の手順

正四面体の表面に沿った最短距離を求める問題なので、展開図を考える。

正四面体ABCDを展開し、点Bから点Dまでの直線距離を求めることを考える。

正四面体を、面ABCと面ACDを辺ACで開いた展開図を考える。

点Bから点Dまでの直線距離が求めるべき紐の長さとなる。

$\triangle ABC$ と $\triangle ACD$ は正三角形なので、$\angle BCA = 60^\circ$ と $\angle ACD = 60^\circ$ である。

したがって、$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$ となる。

$\triangle BCD$ において、BC = CD = 8cmであり、$\angle BCD = 120^\circ$ である。

余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos{120^\circ}$

$BD^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 128 + 64 = 192$

$BD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{3}$ cm