(1) 不等式 $(x^2 + y^2 - 2)(y - x^2) > 0$ の表す領域を図示せよ。 (2) 連立不等式 $ \begin{cases} x^2 - 2x + y^2 - 2y \le 0 \\ x + 2y \le 2 \\ x \ge 0 \end{cases} $ の表す領域を図示せよ。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $(x^2 + y^2 - 2)(y - x^2) > 0$ の表す領域を図示せよ。

(2) 連立不等式

$ \begin{cases}

x^2 - 2x + y^2 - 2y \le 0 \\

x + 2y \le 2 \\

x \ge 0

\end{cases} $

の表す領域を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + y^2 - 2)(y - x^2) > 0$ を満たす領域を求める。

これは、次の二つの場合に分けられる。

(i) $x^2 + y^2 - 2 > 0$ かつ $y - x^2 > 0$ の場合。

(ii) $x^2 + y^2 - 2 < 0$ かつ $y - x^2 < 0$ の場合。

(i) $x^2 + y^2 - 2 > 0$ は、円 $x^2 + y^2 = 2$ の外部を表す。

$y - x^2 > 0$ は、放物線 $y = x^2$ の上側を表す。

(ii) $x^2 + y^2 - 2 < 0$ は、円 $x^2 + y^2 = 2$ の内部を表す。

$y - x^2 < 0$ は、放物線 $y = x^2$ の下側を表す。

これらの領域を図示する。境界線は含まない。

(2) 連立不等式

$ \begin{cases}

x^2 - 2x + y^2 - 2y \le 0 \\

x + 2y \le 2 \\

x \ge 0

\end{cases} $

を満たす領域を求める。

まず、$x^2 - 2x + y^2 - 2y \le 0$ を変形する。

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) \le 2$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 2$

これは、中心 $(1, 1)$, 半径 $\sqrt{2}$ の円の内部（境界を含む）を表す。

次に、$x + 2y \le 2$ を変形する。

$2y \le -x + 2$

$y \le -\frac{1}{2}x + 1$

これは、直線 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ の下側（境界を含む）を表す。

そして、$x \ge 0$ は、$y$軸の右側（境界を含む）を表す。

これらの領域をすべて満たす領域を図示する。

3. 最終的な答え

(1)

領域は、

(i) 円 $x^2 + y^2 = 2$ の外部かつ放物線 $y = x^2$ の上側、または

(ii) 円 $x^2 + y^2 = 2$ の内部かつ放物線 $y = x^2$ の下側

である。境界線は含まない。

(2)

領域は、

円 $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 2$ の内部、

直線 $y \le -\frac{1}{2}x + 1$ の下側、

および $x \ge 0$ の領域をすべて満たす部分である。境界線を含む。