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単位円を用いて、以下の三角関数の公式を証明する。 (1) $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$ (2) $\cos(-\theta) = \cos \theta$ (3) $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$ (4) $\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin \theta$ (5) $\sin(\theta - \pi) = - \sin \theta$ (6) $\cos(\theta - \pi) = - \cos \theta$ (7) $\sin(\frac{3\pi}{2} - \theta) = - \cos \theta$ (8) $\cos(\frac{3\pi}{2} - \theta) = - \sin \theta$

幾何学三角関数単位円三角関数の公式角度変換
2025/7/21

1. 問題の内容

単位円を用いて、以下の三角関数の公式を証明する。
(1) sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta
(2) cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos \theta
(3) sin⁡(θ+π2)=cos⁡θ\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta
(4) cos⁡(θ−π2)=sin⁡θ\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin \theta
(5) sin⁡(θ−π)=−sin⁡θ\sin(\theta - \pi) = - \sin \theta
(6) cos⁡(θ−π)=−cos⁡θ\cos(\theta - \pi) = - \cos \theta
(7) sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θ\sin(\frac{3\pi}{2} - \theta) = - \cos \theta
(8) cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ\cos(\frac{3\pi}{2} - \theta) = - \sin \theta

2. 解き方の手順

単位円上の点 PP を(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) とする。
(1) θ+2π\theta + 2\pi は θ\theta から 2π2\pi だけ回転した角度なので、単位円上の点は同じ P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) となる。したがって、sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta。
(2) −θ-\theta は θ\theta を xx 軸に関して対称に移動した角度なので、単位円上の点は (cos⁡(−θ),sin⁡(−θ))(\cos(-\theta), \sin(-\theta)) となる。この点の xx 座標は cos⁡θ\cos \theta と同じなので、cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos \theta。
(3) θ+π2\theta + \frac{\pi}{2} は θ\theta から π2\frac{\pi}{2} だけ回転した角度なので、単位円上の点は (x′,y′)(x', y') と表せる。このとき、x′=cos⁡(θ+π2)=−sin⁡θx' = \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta, y′=sin⁡(θ+π2)=cos⁡θy' = \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta となる。したがって、sin⁡(θ+π2)=cos⁡θ\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta。
(4) θ−π2\theta - \frac{\pi}{2} は θ\theta から −π2-\frac{\pi}{2} だけ回転した角度なので、単位円上の点は (x′,y′)(x', y') と表せる。このとき、x′=cos⁡(θ−π2)=sin⁡θx' = \cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin\theta, y′=sin⁡(θ−π2)=−cos⁡θy' = \sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos\theta となる。したがって、cos⁡(θ−π2)=sin⁡θ\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin \theta。
(5) θ−π\theta - \pi は θ\theta から π\pi だけ回転した角度なので、単位円上の点は (−cos⁡θ,−sin⁡θ)(-\cos\theta, -\sin\theta) となる。したがって、sin⁡(θ−π)=−sin⁡θ\sin(\theta - \pi) = -\sin \theta。
(6) θ−π\theta - \pi は θ\theta から π\pi だけ回転した角度なので、単位円上の点は (−cos⁡θ,−sin⁡θ)(-\cos\theta, -\sin\theta) となる。したがって、cos⁡(θ−π)=−cos⁡θ\cos(\theta - \pi) = -\cos \theta。
(7) 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta は 3π2\frac{3\pi}{2} から θ\theta だけ回転した角度なので、単位円上の点は (x′,y′)(x', y') と表せる。このとき、x′=cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θx' = \cos(\frac{3\pi}{2} - \theta) = -\sin \theta, y′=sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θy' = \sin(\frac{3\pi}{2} - \theta) = -\cos \theta となる。したがって、sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θ\sin(\frac{3\pi}{2} - \theta) = -\cos \theta。
(8) 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta は 3π2\frac{3\pi}{2} から θ\theta だけ回転した角度なので、単位円上の点は (x′,y′)(x', y') と表せる。このとき、x′=cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θx' = \cos(\frac{3\pi}{2} - \theta) = -\sin \theta, y′=sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θy' = \sin(\frac{3\pi}{2} - \theta) = -\cos \theta となる。したがって、cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ\cos(\frac{3\pi}{2} - \theta) = -\sin \theta。

3. 最終的な答え

(1) sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta
(2) cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos \theta
(3) sin⁡(θ+π2)=cos⁡θ\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta
(4) cos⁡(θ−π2)=sin⁡θ\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin \theta
(5) sin⁡(θ−π)=−sin⁡θ\sin(\theta - \pi) = - \sin \theta
(6) cos⁡(θ−π)=−cos⁡θ\cos(\theta - \pi) = - \cos \theta
(7) sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θ\sin(\frac{3\pi}{2} - \theta) = - \cos \theta
(8) cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ\cos(\frac{3\pi}{2} - \theta) = - \sin \theta

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