三角形ABCにおいて、以下のものを求める問題です。 (1) $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{10}$, $c = 2$のとき、$\cos B$の値と角度$B$を求めます。 (2) $a = 3$, $b = 5$, $c = 7$のとき、$\cos C$の値と角度$C$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下のものを求める問題です。

(1) $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{10}$, $c = 2$のとき、$\cos B$の値と角度$B$を求めます。

(2) $a = 3$, $b = 5$, $c = 7$のとき、$\cos C$の値と角度$C$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より$\cos B$を求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$を$\cos B$について解くと、

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

与えられた値を代入すると、

$\cos B = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2^2 - (\sqrt{10})^2}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2} = \frac{2 + 4 - 10}{4\sqrt{2}} = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$なので、$B = 135^\circ$

(2) 余弦定理より$\cos C$を求めます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$を$\cos C$について解くと、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた値を代入すると、

$\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$なので、$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $B = 135^\circ$

(2) $\cos C = -\frac{1}{2}$, $C = 120^\circ$