原点を通る2つの直線が、円 $x^2 - 12x + y^2 - 4y + 30 = 0$ に点A, Bで接している。このとき2本の直線と円で囲まれた部分の面積を求める。ただし、円の内部の面積は含めない。

1. 問題の内容

原点を通る2つの直線が、円 $x^2 - 12x + y^2 - 4y + 30 = 0$ に点A, Bで接している。このとき2本の直線と円で囲まれた部分の面積を求める。ただし、円の内部の面積は含めない。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を平方完成して、円の中心と半径を求める。

$x^2 - 12x + y^2 - 4y + 30 = 0$

$(x^2 - 12x + 36) + (y^2 - 4y + 4) + 30 - 36 - 4 = 0$

$(x - 6)^2 + (y - 2)^2 = 10$

よって、円の中心は(6, 2)で、半径は$\sqrt{10}$である。

次に、原点から円に引いた接線を考える。

接線の方程式を $y = mx$ とする。円の中心(6, 2)から接線までの距離が半径$\sqrt{10}$に等しいので、点と直線の距離の公式を用いる。

$\frac{|6m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10}$

$(6m - 2)^2 = 10(m^2 + 1)$

$36m^2 - 24m + 4 = 10m^2 + 10$

$26m^2 - 24m - 6 = 0$

$13m^2 - 12m - 3 = 0$

$m = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4 \cdot 13 \cdot 3}}{26} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 156}}{26} = \frac{12 \pm \sqrt{300}}{26} = \frac{12 \pm 10\sqrt{3}}{26} = \frac{6 \pm 5\sqrt{3}}{13}$

2つの接線 $y = m_1 x$ と $y = m_2 x$ のなす角を $\theta$ とする。

$\tan \theta = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{\frac{6 + 5\sqrt{3}}{13} - \frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}}{1 + \frac{6 + 5\sqrt{3}}{13} \cdot \frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{13}}{1 + \frac{36 - 75}{169}} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{13}}{1 - \frac{39}{169}} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{13}}{\frac{130}{169}} = \frac{10\sqrt{3}}{13} \cdot \frac{169}{130} = \frac{13\sqrt{3}}{13} = \sqrt{3}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ である。2本の直線がなす角は$\frac{\pi}{3}$なので、扇形の中心角も$\frac{\pi}{3}$である。

求める面積は、2つの三角形の面積の和から、扇形の面積を引いたものである。

三角形の面積は $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$. 円の中心から接点までの距離は半径$\sqrt{10}$、原点から円の中心までの距離は$\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. 原点から接点までの距離は $\sqrt{(2\sqrt{10})^2-(\sqrt{10})^2} = \sqrt{40-10}=\sqrt{30}$なので、三角形の面積は$\sqrt{30}\sqrt{10} = 10\sqrt{3}$.

2つの三角形の面積の和は $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{30} \cdot \sqrt{10} = 20\sqrt{3}$。

扇形の面積は $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

求める面積は $20\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}$.

3. 最終的な答え

$20\sqrt{3} - \frac{5}{3}\pi$

答えは⑤。