三角形ABCにおいて、$AB=6$、$\angle BAC = 60^\circ$である。$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとする。三角形ABDと三角形ADCの面積比が3:2であるとき、線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$、$\angle BAC = 60^\circ$である。$\angle A$の二等分線と辺BCの交点をDとする。三角形ABDと三角形ADCの面積比が3:2であるとき、線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の面積比と底辺の比の関係を利用する。

三角形ABDと三角形ADCは、頂点Aを共有するので、高さが共通である。

したがって、面積比は底辺の比に等しい。

つまり、$\triangle ABD : \triangle ADC = BD : DC = 3 : 2$となる。

角の二等分線の定理より、$AB:AC = BD:DC$が成り立つ。

問題文より、$AB = 6$、$BD:DC = 3:2$なので、$6:AC = 3:2$となる。

したがって、$AC = \frac{6 \times 2}{3} = 4$となる。

次に、三角形ABCにおいて、余弦定理を用いて辺BCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \times 6 \times 4 \times \cos{60^\circ}$

$\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$なので、

$BC^2 = 36 + 16 - 48 \times \frac{1}{2} = 52 - 24 = 28$

したがって、$BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$となる。

$BD:DC = 3:2$であり、$BC = BD + DC = 2\sqrt{7}$なので、

$BD = \frac{3}{3+2} \times BC = \frac{3}{5} \times 2\sqrt{7} = \frac{6\sqrt{7}}{5}$となる。

3. 最終的な答え

$\frac{6\sqrt{7}}{5}$