## 問題の内容

## 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$, $AC = 5$ である。$\angle A$ の二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

## 解き方の手順

1. 三角形ABCの面積を、三角形ABDと三角形ACDの面積の和で表す。

2. 三角形ABCの面積を求める。$\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$, $AC = 5$ より、

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\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}

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3. ADの長さを $x$ とおく。三角形ABDと三角形ACDの面積をそれぞれ求める。$\angle BAD = \angle CAD = 30^\circ$ より、

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\triangle ABD = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 4 \times x \times \frac{1}{2} = x

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\triangle ACD = \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 5 \times x \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}x

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4. $\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$ より、

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5\sqrt{3} = x + \frac{5}{4}x = \frac{9}{4}x

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したがって、

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x = \frac{4}{9} \times 5\sqrt{3} = \frac{20\sqrt{3}}{9}

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## 最終的な答え

$\frac{20\sqrt{3}}{9}$