三角形ABCにおいて、$a=7$, $b=8$, $c=9$であるとき、以下のものを求めます。 (1) 外接円の半径R (2) 三角形ABCの面積 (3) 内接円の半径r

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=7$, $b=8$, $c=9$であるとき、以下のものを求めます。

(1) 外接円の半径R

(2) 三角形ABCの面積

(3) 内接円の半径r

2. 解き方の手順

(1) 外接円の半径Rの求め方

まず、余弦定理を用いて角Aを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$7^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \times 8 \times 9 \times \cos A$

$49 = 64 + 81 - 144 \cos A$

$144 \cos A = 96$

$\cos A = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、$\sin A$を求めます。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ (Aは三角形の内角なので、$\sin A > 0$)

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{7}{2 \times \frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{7 \times 3}{2\sqrt{5}} = \frac{21}{2\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10}$

(2) 三角形ABCの面積の求め方

ヘロンの公式を利用します。

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = \sqrt{144 \times 5} = 12\sqrt{5}$

(3) 内接円の半径rの求め方

三角形の面積Sと内接円の半径rの間には、

$S = rs$の関係があります。ここで、$s = \frac{a+b+c}{2}$です。

したがって、$r = \frac{S}{s} = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径R: $\frac{21\sqrt{5}}{10}$

(2) 三角形ABCの面積: $12\sqrt{5}$

(3) 内接円の半径r: $\sqrt{5}$