四面体ABPQにおいて、AP=AQ=3, BP=BQ=$2\sqrt{2}$, PQ=$\frac{12}{5}$, $\angle APB = \frac{\pi}{4}$が与えられている。点Pから直線ABに下ろした垂線をPHとする。 (1) 線分PHの長さを求めよ。 (2) $\angle PHQ = \theta$とするとき、$\sin \theta$の値を求めよ。 (3) 2つのベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直であることを証明せよ。 (4) 四面体ABPQの体積を求めよ。

1. 問題の内容

四面体ABPQにおいて、AP=AQ=3, BP=BQ=$2\sqrt{2}$, PQ=$\frac{12}{5}$, $\angle APB = \frac{\pi}{4}$が与えられている。点Pから直線ABに下ろした垂線をPHとする。

(1) 線分PHの長さを求めよ。

(2) $\angle PHQ = \theta$とするとき、$\sin \theta$の値を求めよ。

(3) 2つのベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直であることを証明せよ。

(4) 四面体ABPQの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず$\triangle APB$において、余弦定理を用いてABの長さを求める。

$AB^2 = AP^2 + BP^2 - 2 \cdot AP \cdot BP \cdot \cos \angle APB$

$AB^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4}$

$AB^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 17 - 12 = 5$

$AB = \sqrt{5}$

$\triangle APB$の面積を2通りの方法で表す。

$\frac{1}{2} AP \cdot BP \cdot \sin \angle APB = \frac{1}{2} AB \cdot PH$

$3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \sqrt{5} \cdot PH$

$6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{5} \cdot PH$

$6 = \sqrt{5} \cdot PH$

$PH = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

(2) $\triangle ABQ$も$\triangle APB$と同様なので、AB=$\sqrt{5}$である。

HはABの中点なので、AH = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\triangle PHQ$において、PQ=$\frac{12}{5}$, PH=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$である。

QHを求める。$\triangle AHQ$において、AH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$, AQ=3なので、ピタゴラスの定理より

$QH^2 + AH^2 = AQ^2$

$QH^2 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 3^2$

$QH^2 = 9 - \frac{5}{4} = \frac{36-5}{4} = \frac{31}{4}$

$QH = \frac{\sqrt{31}}{2}$

$\triangle PHQ$において、余弦定理より

$PQ^2 = PH^2 + QH^2 - 2 \cdot PH \cdot QH \cdot \cos \theta$

$(\frac{12}{5})^2 = (\frac{6\sqrt{5}}{5})^2 + (\frac{\sqrt{31}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{6\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{31}}{2} \cdot \cos \theta$

$\frac{144}{25} = \frac{36 \cdot 5}{25} + \frac{31}{4} - \frac{6\sqrt{155}}{5} \cdot \cos \theta$

$\frac{144}{25} = \frac{180}{25} + \frac{31}{4} - \frac{6\sqrt{155}}{5} \cdot \cos \theta$

$\frac{6\sqrt{155}}{5} \cdot \cos \theta = \frac{180}{25} - \frac{144}{25} + \frac{31}{4} = \frac{36}{25} + \frac{31}{4} = \frac{144 + 775}{100} = \frac{919}{100}$

$\cos \theta = \frac{919}{100} \cdot \frac{5}{6\sqrt{155}} = \frac{919}{120\sqrt{155}}$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{919}{120\sqrt{155}})^2$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{844561}{14400 \cdot 155} = 1 - \frac{844561}{2232000} = \frac{2232000-844561}{2232000} = \frac{1387439}{2232000}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{1387439}{2232000}} \approx \sqrt{0.6216} \approx 0.788$

(3) HはABの中点なので、$\overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PQ} = 2 \cdot \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{PQ}$

$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{QB}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PQ} = (\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB}) \cdot (\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP})$

$= \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} - |\overrightarrow{AP}|^2 + \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{AP}$

$AP = AQ = 3$, $BP = BQ = 2\sqrt{2}$, $PQ = \frac{12}{5}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP}$

$(\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP})^2 = (\frac{12}{5})^2$

$|\overrightarrow{AQ}|^2 + |\overrightarrow{AP}|^2 - 2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = \frac{144}{25}$

$9+9 - 2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = \frac{144}{25}$

$18 - 2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = \frac{144}{25}$

$2\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = 18 - \frac{144}{25} = \frac{450-144}{25} = \frac{306}{25}$

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = \frac{153}{25}$

$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{PQ})=0$

(4) 四面体ABPQの体積を求める。

四面体ABPQの体積 = $\frac{1}{3} \cdot$（$\triangle ABQ$の面積） $\cdot$ (Pから$\triangle ABQ$への距離)

$\triangle ABQ$の面積 = $\frac{1}{2}AB \cdot QH = \frac{1}{2}\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{31}}{2} = \frac{\sqrt{155}}{4}$

Pから$\triangle ABQ$への距離 = PH $\sin\theta$

体積 = $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot HQ ) \cdot PH \cdot sin \theta$

$= \frac{1}{6} \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{31}}{2} \cdot \frac{6\sqrt{5}}{5} \cdot \sqrt{\frac{1387439}{2232000}} =$

$\frac{1}{3} \frac{12}{5} * \frac{6\sqrt{5}}{5}$

V=12/25

3. 最終的な答え

(1) $PH = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

(2) $\sin \theta = \sqrt{\frac{1387439}{2232000}}$

(3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0$　(証明は上記参照)

(4) $V=\frac{12}{25}$