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問題は三角形の重心、内心、外心に関する穴埋め問題です。具体的には以下の3つの小問があります。 (1) 二等辺三角形ABCにおいて、AB=AC=$2\sqrt{10}$、BC=4である。辺BCの中点をM、重心をGとするとき、AMとAGの長さを求める。 (2) 三角形ABCにおいて、∠BACの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。AB=6、BD=3、DC=2である。このとき、ACの長さを求め、三角形ABCの内心をIとするとき、AI:IDを求める。 (3) 図において、Oは三角形ABCの外心である。∠OCAから∠OCBを求め、さらに、辺BCの中点をMとするとき、OM=3であるとすると、三角形ABCの外接円の半径を求める。

幾何学三角形重心内心外心三平方の定理角の二等分線外接円
2025/7/21

1. 問題の内容

問題は三角形の重心、内心、外心に関する穴埋め問題です。具体的には以下の3つの小問があります。
(1) 二等辺三角形ABCにおいて、AB=AC=2102\sqrt{10}、BC=4である。辺BCの中点をM、重心をGとするとき、AMとAGの長さを求める。
(2) 三角形ABCにおいて、∠BACの二等分線が辺BCと交わる点をDとする。AB=6、BD=3、DC=2である。このとき、ACの長さを求め、三角形ABCの内心をIとするとき、AI:IDを求める。
(3) 図において、Oは三角形ABCの外心である。∠OCAから∠OCBを求め、さらに、辺BCの中点をMとするとき、OM=3であるとすると、三角形ABCの外接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)
* AMの長さを求める。
* 三角形ABMは直角三角形である（AB=ACより、AMはBCの垂直二等分線）。
* 三平方の定理より、AM2+BM2=AB2AM^2 + BM^2 = AB^2が成り立つ。
* BM=BC/2=4/2=2BM = BC/2 = 4/2 = 2なので、AM2+22=(210)2AM^2 + 2^2 = (2\sqrt{10})^2
* AM2=40−4=36AM^2 = 40 - 4 = 36
* AM=6AM = 6
* AGの長さを求める。
* 重心Gは中線AMを2:1に内分する。
* AG=(2/3)AM=(2/3)⋅6=4AG = (2/3)AM = (2/3) \cdot 6 = 4
(2)
* ACの長さを求める。
* 角の二等分線の性質より、AB:AC=BD:DCAB:AC = BD:DCが成り立つ。
* 6:AC=3:26:AC = 3:2
* 3AC=123AC = 12
* AC=4AC = 4
* AI:IDを求める。
* 内心Iは角の二等分線上にあるので、角の二等分線の性質を利用する。AI:ID=(AB+AC):BC=(6+4):5=10:5=2:1AI:ID = (AB+AC):BC = (6+4):5 = 10:5 = 2:1
* したがって、AI:ID = 2:1
(3)
* ∠OCAを求める。
* ∠OAC = ∠OCAである。（OA=OCより、三角形OACは二等辺三角形。）
* ∠OAC = ∠BAC - ∠BAO = 20+100=120 - 100 = 20
* ∠OCA = 20°
* ∠OCBを求める。
* ∠BOC = 2∠BAC = 2(120) =240
* ∠BOC = 2∠BACより、∠OBC =∠OCB。三角形OBCは二等辺三角形。
* 2∠OCB+∠BOC＝180
* 2∠OCB+200＝180　（∠BAC=20+100で120だった。　2∠BAC=240。）
* 2∠OCB+2(100+20)＝180　（∠BOCではないので間違っている。Oは外心だから　∠OBC =∠OCB。）
* ∠OCA=20で、∠OCA= ∠OAC,∠OBA= ∠OAB=100,∠OCB= ∠OBC。
* ∠OCB= 90－∠OAC= 90－100　（これは外心だから成り立つことではない。）
* 180-120 =60より　∠ABC+∠ACB=60。
* ∠OBC=∠OCB= (180-∠BOC)/2。　∠BOC=2∠BAC=240。
* ∠OCB= (180-2∠A)/2= 90- ∠A = 90- (100+20)= -30
* 2∠OCA + ∠AOB=360
* ∠OAB=100, ∠OAC=20 より　∠CAB=120。∠CBA=∠BCA=(180-120)/2=30。
* 三角形OBCはOB=OCだから二等辺三角形なので、底角が等しく　∠OBC=∠OCB。
* ∠BOC=2∠BAC= 2(100+20)=240。
* 内角の和は180。360は誤り。　∠OBC+∠OCB+ ∠BOC=180
* 2∠OCB=180- ∠BOC= 180- 240 = -60。
* ∠OCB= (180- ∠BOC)/2。　∠OBC=∠OCB。
* 三角形OBCはOC=OBで二等辺三角形である。
* ∠OCB=∠OBC =(180 - ∠BOC) /2= (180-20-100)
* ∠OCB=30から、∠OCA=∠OAC　よって、∠OCA = 20。∠OCB=30。
* 外接円の半径を求める。
* OM=3である。AM = AO+OMである。
* よって、AO = AM- OM=6 -3 =3

3. 最終的な答え

(1) ア: 6, イ: 4
(2) ウ: 4, エ: 2
(3) オカ: 20, キク: 30, ケ: 3

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