直線 $\ell: y = -\frac{3}{2}x + 7$ と直線 $m: y = x + 12$ がある。$\ell$ と $m$ の交点を A, $y$ 軸との交点を C, $m$ と $x$ 軸との交点を D とする。 (1) 点 A の座標を求める。 (2) 点 P が線分 AD 上にあり、$\triangle OCP$ が $OP = CP$ の二等辺三角形となるとき、$\triangle OCP$ の面積を求める。また、点 P が線分 OD 上にあり、四角形 ADPC の面積と $\triangle BCP$ の面積が等しくなるとき、点 P の $x$ 座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $\ell: y = -\frac{3}{2}x + 7$ と直線 $m: y = x + 12$ がある。$\ell$ と $m$ の交点を A, $y$ 軸との交点を C, $m$ と $x$ 軸との交点を D とする。

(1) 点 A の座標を求める。

(2) 点 P が線分 AD 上にあり、$\triangle OCP$ が $OP = CP$ の二等辺三角形となるとき、$\triangle OCP$ の面積を求める。また、点 P が線分 OD 上にあり、四角形 ADPC の面積と $\triangle BCP$ の面積が等しくなるとき、点 P の $x$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 A は直線 $\ell$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式を解く。

\begin{align*}

\begin{cases}

y = -\frac{3}{2}x + 7 \\

y = x + 12

\end{cases}

\end{align*}

$-\frac{3}{2}x + 7 = x + 12$

$-\frac{5}{2}x = 5$

$x = -2$

$y = -2 + 12 = 10$

よって、点 A の座標は $(-2, 10)$ である。

(2)

① 点 P が線分 AD 上にあり、$\triangle OCP$ が $OP = CP$ の二等辺三角形となるときを考える。

点 C は $(0, 7)$ である。$OP = CP$ より、$P$ は線分 $OC$ の垂直二等分線上にある。線分 $OC$ の中点は $(0, \frac{7}{2})$ であり、垂直二等分線は $y = \frac{7}{2}$ である。

点 P は直線 $\ell$ 上にあるので、$y = -\frac{3}{2}x + 7$ に $y = \frac{7}{2}$ を代入する。

$\frac{7}{2} = -\frac{3}{2}x + 7$

$\frac{3}{2}x = \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

よって、点 P の座標は $(\frac{7}{3}, \frac{7}{2})$ である。

$\triangle OCP$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot OC \cdot P_x = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \frac{7}{3} = \frac{49}{6}$ である。

② 点 P が線分 OD 上にあり、四角形 ADPC の面積と $\triangle BCP$ の面積が等しくなるときを考える。

点 P の座標を $(p, 0)$ とする。

四角形 ADPC の面積 = $\triangle ADC$ の面積 - $\triangle OPC$ の面積

$\triangle BCP$ の面積 = $\triangle OBC$ の面積 + $\triangle OPC$ の面積

四角形 ADPC の面積 = $\triangle BCP$ の面積より

$\triangle ADC$ の面積 - $\triangle OPC$ の面積 = $\triangle OBC$ の面積 + $\triangle OPC$ の面積

$\triangle ADC$ の面積 = $\triangle OBC$ の面積 + $2\triangle OPC$ の面積

点Dの座標は、$y=x+12$ に $y=0$ を代入して $0 = x+12$ より $x = -12$ なので$D(-12,0)$.

点Bの座標は、$x=0$ のとき $y=x+12 = 12$ なので $B(0,12)$.

$\triangle ADC$ の面積 = $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot (A_y - C_y) = \frac{1}{2} (0 - (-12)) \cdot (10-7) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18$.

$\triangle OBC$ の面積 = $\frac{1}{2} \cdot OC \cdot (B_x-O_x) = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (0-0) = 0$.

$\triangle OPC$ の面積 = $\frac{1}{2} \cdot OC \cdot (P_x - O_x) = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (p - 0) = \frac{7}{2}p$.

よって、$18 = 0 + 2(\frac{7}{2}p) = 7p$.

$p = \frac{18}{7}$.

3. 最終的な答え

(1) 点 A の座標: $(-2, 10)$

(2) ① $\triangle OCP$ の面積: $\frac{49}{6}$

　　② 点 P の $x$ 座標: $\frac{18}{7}$