底面がAB=10cm, BC=6cm, CA=8cm, ∠BCA=90°の直角三角形で、高さがOC=8cmである三角錐について、以下の問いに答えます。 (1) 三角錐の体積を求めます。 (2) △OCPの面積が最も小さくなるとき、線分CPの長さを求めます。 (3) 頂点Oから三角錐の側面に沿って点Pまで、辺ACと交わるように紐をかけ、辺ACと紐との交点をQとします。AP=7cmで、紐が最も短くなるようにかけるとき、△OCQの面積と△CPQの面積の和を求めます。ただし、紐の太さや伸び縮みは考えないものとします。

1. 問題の内容

底面がAB=10cm, BC=6cm, CA=8cm, ∠BCA=90°の直角三角形で、高さがOC=8cmである三角錐について、以下の問いに答えます。

(1) 三角錐の体積を求めます。

(2) △OCPの面積が最も小さくなるとき、線分CPの長さを求めます。

(3) 頂点Oから三角錐の側面に沿って点Pまで、辺ACと交わるように紐をかけ、辺ACと紐との交点をQとします。AP=7cmで、紐が最も短くなるようにかけるとき、△OCQの面積と△CPQの面積の和を求めます。ただし、紐の太さや伸び縮みは考えないものとします。

2. 解き方の手順

(1) 三角錐の体積

三角錐の体積は、$V = \frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$ で求められます。

底面積は直角三角形ABCなので、$\frac{1}{2} \times BC \times CA = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm$^2$ です。

高さはOC=8cmなので、

$V = \frac{1}{3} \times 24 \times 8 = 64$ cm$^3$

(2) △OCPの面積が最も小さくなるとき

△OCPの面積が最も小さくなるのは、CPがABに垂直なときです。

△ABCにおいて、$BC \times CA = AB \times h$ (hはCからABへの垂線の長さ) が成り立ちます。

$6 \times 8 = 10 \times h$

$h = \frac{48}{10} = 4.8$ cm

したがって、CP = 4.8 cmです。

(3) △OCQの面積と△CPQの面積の和

OからPへの最短経路は、展開図上で線分OPとなる場合です。

点Aを中心として、△OACと△CABを展開すると、O, Q, Pが一直線上に並びます。

△ABC∽△PBQより,

PB = AB - AP = 10 - 7 = 3

$\frac{BQ}{BC} = \frac{PB}{AB}$

$BQ = BC \times \frac{PB}{AB} = 6 \times \frac{3}{10} = \frac{18}{10} = 1.8$

$CQ = BC - BQ = 6 - 1.8 = 4.2$

$\frac{AQ}{AC} = \frac{AP}{AB} = \frac{7}{10}$

$AQ = AC \times \frac{AP}{AB} = 8 \times \frac{7}{10} = \frac{56}{10} = 5.6$

$QC = AC - AQ = 8 - 5.6 = 2.4$

△OCQの面積 = $\frac{1}{2} \times QC \times OC = \frac{1}{2} \times 2.4 \times 8 = 9.6$ cm$^2$

△CPQの面積 = $\frac{1}{2} \times QC \times CP \sin(\angle ACB)$

$\angle ACB = 90^\circ$ であるから $\sin(\angle ACB) = 1$

点PからACへ垂線を下ろした点をRとする。

$\frac{PR}{BC} = \frac{AP}{AB}$

$PR = BC \times \frac{AP}{AB} = 6 \times \frac{7}{10} = 4.2$

△CPQの面積 = $\frac{1}{2} \times QC \times PR = \frac{1}{2} \times 2.4 \times 4.2 = 5.04$ cm$^2$

求める面積の和 = 9.6 + 5.04 = 14.64 cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) 64 cm$^3$

(2) 4.8 cm

(3) 14.64 cm$^2$